題意

$n$ 個順時針排列的牛棚，可以開 $k$ 個口讓牛順時針進入，已知每個牛棚需要多少隻牛，問所有牛在牛棚內行走的距離總和最小值。
$1$

思路

序列倍長，斷環成鏈，區間轉移，線性動歸，這種套路實在見得多了，不難打出一個 $n^3$ 的 $d$

FOR(r,0,n-1)
{
	FOR(i,1,n)cnt[i]=cnt[i-1]+a[r+i],sum[i]=sum[i-1]+a[r+i]*i;
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	dp[0][0]=0;
	FOR(i,1,K)
		FOR(j,1,n)
			FOR(k,0,j-1)
				dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+(sum[j]-sum[k])-(k+1)*(cnt[j]-cnt[k]));
	ans=min(ans,dp[K][n]);
}

現在優化掉其中一維即可，顯然是轉移的那一維，列出轉移式：
$dp_{i,j}=\min\{dp_{i-1,k}+(sum_j-sum_k)+(k+1)(cnt_k-cnt_j)\},k\in[0,j-1]$
把和 $j$有關或常數提出來，將只和 $k$ 有關、與 $j,k$ 有關的分別並列得到：
$dp_{i,j}=\min\{dp_{i-1,k}-sum_k+cnt_k(k+1)-cnt_j(k+1)\}+sum_j,k\in[0,j-1]$
令 $X_i=i+1,Y_{i,j}=dp_{i,j}-sum_j+cnt_j(j+1),K_i=cnt_i,C_i=sum_i$
原式又變成 $dp_{i,j}=\min\{Y_{i-1,k}-K_jX_k\}+C_j$
維護一個 $(X_k,Y_{i-1,k})$ 的下凸包，即保證斜率一定時， $y$ 軸上截距最小，而斜率的 $K_i$ 又是單調遞增的，那斜率優化就顯然了。
總結一下斜率是如何優化 $DP$ 的。
回到我們的單調佇列優化 $DP$， $dp_i=\min\{F_j\}+G_i$， $\max$ 相同。
其中 $F_j$ 是僅與 $j$ 相關的函式， $G_i$ 是隻與 $i$ 相關的函式，維護一個關於 $F_j$ 的單調佇列即可。
而當出現了