2829 （斜率優化dp）
思路：還是先列出普通的dp方程，dp[i][j]=min(dp[k][j-1]+s(i,k+1)) 表示到前i個站點，用了j次爆炸，得到的最小值，其中s(i,k+1)表示從k+1到i的連乘積。
直接做必然是n^3 因為需要列舉k。考慮到dp[i][j]，當j為定值，它隨著i單調遞增的，所以考慮使用斜率優化來做。
在分析之前先處理一下任意區間的連乘積問題：
有兩種解決方案： 1. 記錄字首和和 字首平方和 （具體原因分析前幾項就行）
2. 記錄字首和 和字首區間乘積 （意思是每新加入一個元素，都會增加 a[i]*(sum[i-1])項，sum[i-1]代表字首和）
下面就是一般的套路：
設y<k<i （還是那句話，考慮單調性不考慮定義域就是在刷流氓）
假定：dp[k][j-1] +c[i]- c[k] -sum[k]*(sum[i]-sum[k]) 優於 dp[y][j-1] +c[i] -c[y] -sum[y]*(sum[i] - sum[y])
其中 c[i]代表解決方案二中的 字首區間 乘積。
那麼必然滿足：dp[k][j-1] +c[i]- c[k] -sum[k]*(sum[i]-sum[k]) < dp[y][j-1] +c[i] -c[y] -sum[y]*(sum[i] - sum[y]) （因為我們求的是最小值）
化簡得：(dp[k][j-1] - c[k] +sum[k]*sum[k] -( dp[y][j-1] -c[y] +sum[y]*sum[y] ) ) / (sum[k] -sum[y]) < sum[i]
觀察到sum[i]是單調遞增的，而前面的式子可以看做是平面上兩點構成的斜率，也就是說我們的斜率在不斷上升，而我們需要求出最小值。所以取到最值的點必然是下凸的。（這是從座標圖上來分析的）
從數值的角度分析：當我們已經知道 k比 y優的時候，y就已經完全沒有用處了，同時，當我們考慮將新點i加入時，也要考慮維護一個下凸值。也就是說 如果 y<k<i 如何 ky 的斜率大於 ik的斜率，那麼k點必然是沒有用的，具體分析可以參考前面的一篇部落格。
下面就來分析這題的具體實現：首先這是一個二維的dp，我們對不同的j需要維護不同的單調佇列 ，因為我們之前的分析，都是建立在j不變的情況下討論的。
下面的程式碼是採用記錄字首區間乘積實現的（記錄字首平方和大概是乘0.5導致精度問題，所以wa了，思想是沒問題的）
程式碼1：字首區間乘積（已AC）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=1e18;
const int maxn=1e3+7;
const int mod=1e9+7;
ll sum[maxn],sp[maxn];
ll dp[maxn][maxn];
int a[maxn];
int q[maxn];
int n,m;
ll solve(int k,int y,int j) //y<k,且k優於y
{
if(sum[k]==sum[y])
{
if(dp[k][j-1]-sp[k]<dp[y][j-1]-sp[y])
{
return -1;
}
else
{
return inf;
}
}
return ((dp[k][j-1]-sp[k]+sum[k]*sum[k])-(dp[y][j-1]-sp[y]+sum[y]*sum[y]))/
(sum[k]-sum[y]);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n+m))
{
sum[0]=sp[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
sp[i]=sp[i-1]+a[i]*sum[i-1];
}
int head,tail;
// for(int j=1;j<=m;j++)
// {
// dp[1][j]=a[1];
// }
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i][0]=sp[i];
}
for(int j=1;j<=m;j++)
{
head=tail=0;
q[0]=j;
for(int i=j+1;i<=n;i++)
{
while(head<tail&&solve(q[head+1],q[head],j)<sum[i])
{
head++;
}
dp[i][j]=dp[q[head]][j-1]+sp[i]-sp[q[head]]-sum[q[head]]*(sum[i]-sum[q[head]]);
while(head<tail&&solve(q[tail],q[tail-1],j)>solve(i,q[tail],j))
{
tail--;
}
q[++tail]=i;
}
}
printf("%lld\n",dp[n][m]);
}
return 0;
}程式碼2：字首平方和（WA了）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=1e18;
const int maxn=1e3+7;
const int mod=1e9+7;
ll sum[maxn],sp[maxn];
ll dp[maxn][maxn];
int a[maxn];
int q[maxn];
int n,m;
ll solve(int k,int y,int j) //y<k,且k優於y
{
if(sum[k]==sum[y])
{
if(dp[k][j-1]+0.5*sp[k]<dp[y][j-1]+0.5*sp[y])
{
return -1;
}
else
{
return inf;
}
}
return (dp[k][j-1]+(sum[k]*sum[k]+sp[k])/2-(dp[y][j-1]+(sum[y]*sum[y]+sp[y])/2))/
(sum[k]-sum[y]);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n+m))
{
sum[0]=sp[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
sp[i]=a[i]*a[i]+sp[i-1];
}
int head,tail;
// for(int j=1;j<=m;j++)
// {
// dp[1][j]=a[1];
// }
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i][0]=sum[i]*sum[i]-sp[i];
}
for(int j=1;j<=m;j++)
{
head=tail=0;
q[0]=j;
for(int i=j+1;i<=n;i++)
{
while(head<tail&&solve(q[head+1],q[head],j)<sum[i])
{
head++;
}
dp[i][j]=dp[q[head]][j-1]+((sum[i]-sum[q[head]])*(sum[i]-sum[q[head]])-(sp[i]-sp[q[head]]))/2;
while(head<tail&&solve(q[tail],q[tail-1],j)>solve(i,q[tail],j))
{
tail--;
}
q[++tail]=i;
}
}
printf("%lld\n",dp[n][m]);
}
return 0;
}