演算法的時間複雜度和空間複雜度計算
一、演算法的時間複雜度定義
在進行演算法分析時，語句總的執行次數T(n)是關於問題規模n的函式，進而分析T(n)隨n的變化情況並確定T(n)的數量級。演算法的時間複雜度，也就是演算法的時間量度。記作：T(n)=O(f(n))。它表示隨問題n的增大，演算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作演算法的漸進時間複雜度，簡稱為時間複雜度。其中，f(n)是問題規模n的某個函式。
這樣用大寫O()來體現演算法時間複雜度的記法，我們稱之為大0記法。
二、推導大O階方法
1、用常數1取代執行時間中的所有加法常數。
2、在修改後的執行次數函式中，只保留最高階項。
3、如果最高階項存在且不是1，則去除與這個專案相乘的常數。得到的結果就是大O階。
三、推導示例
1、常數階
首先順序結構的時間複雜度。下面這個演算法，是利用高斯定理計算1，2，……n個數的和。
-
int sum =
0, n =
100;
/*執行一次*/
-
sum = (
1
-
printf(
"%d",sum);
/*執行一次*/
另外，我們試想一下，如果這個演算法當中的語句 sum = (1+n)*n/2;
2、線性階
線性階的迴圈結構會複雜很多。要確定某個演算法的階次，我們常常需要確定某個特定語句或某個語句集執行的次數。因此，我們要分析演算法的複雜度，關鍵就是要分析迴圈結構的執行情況。
下面這段程式碼，它的迴圈的時間複雜度為O(n)， 因為迴圈體中的程式碼須要執行n次。
-
int i;
-
for(i =
0; i < n; i++){
-
/*時間複雜度為O(1)的程式步驟序列*/
-
}
3、對數階
如下程式碼：
-
int count =
1;
-
while (count < n){
-
count = count *
2;
-
/*時間複雜度為O(1)的程式步驟序列*/
-
}
4、平方階
下面例子是一個迴圈巢狀，它的內迴圈剛才我們已經分析過，時間複雜度為O(n)。
-
int i, j;
-
for(i =
0; i < n; i++){
-
for(j =
0; j < n; j++){
-
/*時間複雜度為O(1)的程式步驟序列*/
-
}
-
}
如果外迴圈的迴圈次數改為了m，時間複雜度就變為O(mXn)。
所以我們可以總結得出，迴圈的時間複雜度等於迴圈體的複雜度乘以該迴圈執行的次數。
那麼下面這個迴圈巢狀，它的時間複雜度是多少呢?
-
int i, j;
-
for(i =
0; i < n; i++){
-
for(j = i; j < n; j++){
/*注意j = i而不是0*/
-
/*時間複雜度為O(1)的程式步驟序列*/
-
}
-
}
用我們推導大O階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮；第二條，只保留最高階項，因此保留時(n^2)/2; 第三條，去除這個項相乘的常數，也就是去除1/2，最終這段程式碼的時間複雜度為O(n2)。
從這個例子，我們也可以得到一個經驗，其實理解大0推導不算難，難的是對數列的一些相關運算，這更多的是考察你的數學知識和能力。
5、立方階
下面例子是一個三重迴圈巢狀。
-
int i, j;
-
for(i =
1; i < n; i++)
-
for(j =
1; j < n; j++)
-
for(j =
1; j < n; j++){
-
/*時間複雜度為O(1)的程式步驟序列*/
-
-
}
四、常見的時間複雜度
常見的時問複雜度如表所示。
常用的時間複雜度所耗費的時間從小到大依次是：
我們前面已經談到了。O(1)常數階、O(logn)對數階、O(n)線性階、 O(n^2)平方階等，像O(n^3)，過大的n都會使得結果變得不現實。同樣指數階O(2^n)和階乘階O(n!)等除非是很小的n值，否則哪怕n 只是100，都是噩夢般的執行時間。所以這種不切實際的演算法時間複雜度，一般我們都不去討論。
五、最壞情況與平均情況
我們查詢一個有n 個隨機數字陣列中的某個數字，最好的情況是第一個數字就是，那麼演算法的時間複雜度為O(1)，但也有可能這個數字就在最後一個位置上待著，那麼演算法的時間複雜度就是O(n)，這是最壞的一種情況了。
最壞情況執行時間是一種保證，那就是執行時間將不會再壞了。 在應用中，這是一種最重要的需求， 通常， 除非特別指定， 我們提到的執行時間都是最壞情況的執行時間。
而平均執行時間也就是從概率的角度看， 這個數字在每一個位置的可能性是相同的，所以平均的查詢時間為n/2次後發現這個目標元素。平均執行時間是所有情況中最有意義的，因為它是期望的執行時間。也就是說，我們執行一段程式程式碼時，是希望看到平均執行時間的。可現實中，平均執行時間很難通過分析得到，一般都是通過執行一定數量的實驗資料後估算出來的。一般在沒有特殊說明的情況下，都是指最壞時間複雜度。
六、演算法空間複雜度
我們在寫程式碼時，完全可以用空間來換取時間，比如說，要判斷某某年是不是閏年，你可能會花一點心思寫了一個演算法，而且由於是一個演算法，也就意味著，每次給一個年份，都是要通過計算得到是否是閏年的結果。 還有另一個辦法就是，事先建立一個有2050個元素的陣列(年數略比現實多一點)，然後把所有的年份按下標的數字對應，如果是閏年，此陣列項的值就是1，如果不是值為0。這樣，所謂的判斷某一年是否是閏年，就變成了查詢這個陣列的某一項的值是多少的問題。此時，我們的運算是最小化了，但是硬碟上或者記憶體中需要儲存這2050個0和1。這是通過一筆空間上的開銷來換取計算時間的小技巧。到底哪一個好，其實要看你用在什麼地方。
演算法的空間複雜度通過計算演算法所需的儲存空間實現，演算法空間複雜度的計算公式記作:S(n)= O(f(n))，其中，n為問題的規模，f(n)為語句關於n所佔儲存空間的函式。
一般情況下，一個程式在機器上執行時，除了需要儲存程式本身的指令、常數、變數和輸入資料外，還需要儲存對資料操作的儲存單元，若輸入資料所佔空間只取決於問題本身，和演算法無關，這樣只需要分析該演算法在實現時所需的輔助單元即可。若演算法執行時所需的輔助空間相對於輸入資料量而言是個常數，則稱此演算法為原地工作，空間複雜度為0(1)。
通常， 我們都使用"時間複雜度"來指執行時間的需求，使用"空間複雜度"指空間需求。當不用限定詞地使用"複雜度'時，通常都是指時間複雜度。
七、一些計算的規則
1、加法規則
T(n,m) = T1(n) + T2(m) = O(max{f(n), g(m)})
2、乘法規則
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O(max{f(n)*g(m)})
3、一個經驗
複雜度與時間效率的關係：
c(常數) < logn < n < n*logn < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!
l------------------------------l--------------------------l--------------l
較好 一般 較差
八、常用演算法的時間複雜度和空間複雜度
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參考：
《大話資料結構》
http://blog.csdn.net/yangwei282367751/article/details/52426911
http://univasity.iteye.com/blog/1164707
轉載請註明出處：
http://blog.csdn.net/daijin888888/article/details/66970902