分治演算法解決大整數乘法問題

阿新 • • 發佈：2018-11-09

整數相乘：小整數相乘在演算法時間分析中可以認為是常數時間，但是對於大整數，時間需要考慮。兩個N位數的整數X和Y相乘，常規方法花費時間是 $\Theta (N^2)$ ，因為X的每一位都要和Y的每一位相乘，是兩層迴圈。

分治演算法解決整數相乘問題：

例如，X是12345678，Y是87654321，將X和Y都拆成兩半，得到

$X_{L}=1234$

$X_{R}=5678$

$Y_{L}=8765$

$Y_{R}=4321$

即 $X=X_{L}10^{4}+X_{R}$ ， $Y=Y_{L}10^{4}+Y_{R}$ ，得到

$XY=X_{L}Y_{L}10^{8}+(X_{L}Y_{R}+X_{R}Y_{L})10^{4}+X_{R}Y_{R}$

這個方程由4個乘法組成，即 $X_{L}Y_{L},X_{L}Y_{R},X_{R}Y_{L},X_{R}Y_{R}$ ，每個問題是原問題的 $N/2$ 大小，加上增加一堆0的 $O(N)$ 附加工作，得到遞迴公式如下：

$T(N)=4T(N/2)+O(N)$

應用分治演算法定理，得到 $T(N)=O(N^2)$ ，因此並沒有改進時間。想要改進時間，需要考慮減少子問題規模，一個觀察如下：

$X_{L}Y_{R}+X_{R}Y_{L}=(X_{L}-X_{R})(Y_{L}-X_{R})+X_{L}T_{L}+X_{R}Y_{R}$

這樣，只需要求 $X_{L}X_{L},X_{L}X_{L},(X_{L}-X_{R})(Y_{R}-Y_{L})$ 三個子問題，公式為

$T(N)=3T(N/2)+O(N)$

應用分治演算法定理，得到 $T(N)=O(N^{log_{2}^{3}})$ ，是一個亞二次時間界

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