引入

1. 假定投硬幣，投出正面的概率為$p$，反面的概率為$1-p$。則投出$n$次，正面出現的期望次數為$np$。硬幣正面最多出現$k$次的概率可以通過下式確定
   $$P(H(n)\le k)=\sum\limits_{i=0}^k \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n} \\ {}i \end{array}} \right)p^i(1-p)^{n-i}$$
   $H(n)$為投n次硬幣，正面出現的次數。

2. 假定$k=(p-\varepsilon)n$，其中$\varepsilon >0$，可得
   

   $$P[H(n)\le (p-\varepsilon)n]\le \exp(-2\varepsilon^2 n)$$

3. 同理假定$k=(p+\varepsilon)n$，其中$\varepsilon >0$，可得
   

   $$P[H(n)\ge (p+\varepsilon)n]\le \exp(-2\varepsilon^2 n)$$

4. 由2,3得
   

   $$P[(p+\varepsilon)n \ge H(n)\le (p-\varepsilon)n]\ge 1- 2\exp(-2\varepsilon^2 n)$$

常用形式

1. 假定$X_1,X_2,...,X_n$為有界獨立隨機變數，$0\le X_i\le1$，$E(\overline X)$為$\overline X$的期望，定義經驗均值變數為
   

   $$\overline X = \frac{1}{n} (X_1+X_2+...+X_n)$$
   滿足不等式
   $$P(\overline X -E(\overline X) \ge t) \le e^{-2nt^2}$$
   其中$0<t<\overline X -E(\overline X)$.

2. 更一般的情況，當$X_i$嚴格有界在區間$[a_i,b_i]$中
   

   P(X¯¯¯¯−E(X¯