如上圖，是一個AOE網，點表示狀態，邊表示活動及其所需要的時間。為了求出關鍵路徑，我們使用一下演算法：

1.求出到達各個狀態的最早時間（按最大計）

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這個過程是要從源點開始向匯點順推：

1. V1是源點，其最早開始時間是0。
2. V2、V3、V4最早時間分別是是6、4、5。
3. 對於V5而言，V2到V5所花費時間是6+1=7，而V3到V5所花費時間是4+1=5。我們要按最大計，也就是V5最早時間是max{7,5}=7，按最大計是因為只有活動a4和a5同時完成了，才能到達V5狀態。V3到V5需要5分鐘，但是此時a4活動尚未完成（7分鐘），所以都不能算到達V5，故而要按最大計。
4. V6只有從V4到達，所以V6的最早完成時間是（5+2=）7。
5. 同理，V7最早完成時間是16。
6. 對於V8而言，和V5處理方法一致。V8=max{V5+7,V6+4}={7+7,7+4}=14。
7. V9可算出是18。

這樣，我們可以得到各個狀態的最早時間的表：

最早時間表

2.求出到達各個狀態的最晚時間（按最小計）

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這個過程是要從匯點開始向源點逆推：

1. V9完成時間為18，最V7最遲開始時間是（18-2=）16
   
   逆推
   因為活動a10所需時間2。如果V7開始時間比16晚，則V9完成時間就會比18晚，這顯然不對。
2. 同理，V8最遲開始時間為14。
3. 對於V5而言，可以從V7、V8兩個點開始向前推算，此時要按最小計，即V5(最晚)=min{V7-9,V8-7}=min{16-9,14-7}=7。
   請注意！！，min{V7-9,V8-7}中，V7、V8取的都是前面算出的最遲開始時間（而不是最早開始時間）。
   按最小計
   按最小計
   ，是因為如果按最大計去計算V5的最晚開始時間，那麼加上a7和a8的活動時間後，V7、V8至少有一個會比之前逆推算得出的最晚時間還要晚，這就發生了錯誤。
4. 同理，可計算出剩下的點

這樣，我們可以得到各個狀態的最晚時間的表：

最晚時間表

事實上，源點和匯點的最晚時間和最早時間必定是相同的。

3.求出關鍵路徑

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求出關鍵活動，則關鍵活動所在路徑即為關鍵路徑

對於a1：

這表明，a1最早只能從0時刻開始，最晚也只能從（6-6=）0時刻開始，因此，a1是關鍵活動。

對於a2：

a2最早要從0時刻開始，但是它最晚開始時間卻是（6-4=）2。也就是說，從0開始做，4時刻即完成；從2開始做，6時刻恰好完成。從而在[0,2]區間內任意時間開始做a2都能保證按時完成。（ 請區別頂點的最早最晚和活動的最早最晚時間。圖示中的最早最晚是頂點狀態的時間，活動的最早最晚開始時間卻是基於此來計算的）。
由於a2的開始時間是不定的，所以它不能主導工程的進度，從而它不是關鍵活動。

一般的，

活動用時X時間，它最早要從E1時刻開始（一開始就開始），最晚要從L2-X時刻開始（即恰好完成）。所以，如果它是關鍵活動，則必然有 E1=L2-X，否則它就不是關鍵活動。

值得注意的是，頂點的最早開始時間等於最晚開始時間 是 該頂點處於關鍵路徑 的 不充分不必要條件。

上表中藍色底紋表示的點即為處於關鍵路徑的點。儘管它們的最早時間與最晚時間都相同，但是這與它們是否為關鍵路徑的點 無關。因為這還取決於起始點的最早時間以及活動時間。

作者：KyrinWoo
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