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選擇題：在如下8*6的矩陣中，請計算從A移動到B一共有多少走法？要求每次只能向上或向右移動一格，並且不能經過P。()

							B
			P
A

A 492   B  494   C  496  D  498

看一次忘一次，決定這次再次理解一便，並更加形象的理解：

試想：

題目若是m*n表格裡面，從A到B，不管其如何走，必然要經過m+n個格子（這個就不需要證明了吧）。然後這m+n個格子裡面只有兩種狀態，向上或向右；而且為到達B，必須有n個向右走，m個向上走；如此，從這m+n個格子裡選擇n個向右走就ok了（剩下的就向上走，當然可以選擇m向上走，剩下向右走）。這樣可能會比原解釋的要更加清楚些~

其他的，參考原解釋：

附原解釋：

解答：

這是有關組合數學中排列組合的一道題。

從n個元素中任取r個元素一組，若不考慮它們的順序時，則稱為從n中取r的組合，它的方案數以C(n,r) 表示；

從n個元素中任取r個元素按順序排成一列，則稱為從n中取r的排列，其排列的方案數以p(n,r) 表示。

這道題等同於下面的一道題：

許多街道都建成方格形。從家中出發到目的地，向東要走m條街，想北要走n條街，試問從家中到工作地點最短路徑有幾條？

若將家作為 （0,0）點，工作地點作為（m,n）點，問題就化為從（0,0）點到（m,n）點有幾條最短路徑（如下圖）

 

從（0,0）點到（m,n）點走的路徑，必然是向x軸方向過m次街道，y軸方道路向過n個街道。即每條道路和由m個x和n個y構成的共m+n的排列一一對應，可以看成在m+n個格中

選m個格子，填上x,剩下的n個格子填上y，這樣的排列數為c(m+n,m),同理，這樣的排列數為c(m+n,n)。

現在我們來解決拿到面試題：

每個方格看做一個點，得到下面座標圖：

首先從A到B總共有c(7+5,5)種走法，從A到P有c(3+3,3)種走法，從P到B有c(4+2,2)種走法。

所以不經過點P得走法共有c(12,5)-(c(6,3)*c(6,2))種，即492種，選A。

給定一個m*n的格子或棋盤，問從左下角走到右上角的走法總數（每次只能向右或向上移動一個方格邊長的距離）。

解答：我們可以把棋盤的左下角看做二維座標的原點(0,0)，把棋盤的右上角看做二維座標(n,n)(座標系的單位長度為小方格的變長)                

用f(i,j)表示移動到座標f(i,j)的走法總數，其中0=<i,j<=n，我們即求f(n,n)這樣我們就可以遞迴的定義子問題
f(n,n)=f(n-1,n)+f(n,n-1).
於是狀態f(i,j)的狀態轉移方程為：
f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1)   if i,j>0
f(i,j)=f(i,j-1)            if i=0
f(i,j)=f(i-1,j)            if j=0

初始情況就為：f(0,0)=0, f(0,1)=1, f(1,0)=1，這個問題可以在時間O(n^2)，空間O(n^2)內求解，非遞迴解。

1，給定一個n*n的格子或棋盤，問從左下角走到右上角的走法總數（每次只能向右或向上移動一個方格邊長的距離） 解答：我們可以把棋盤的左下角看做二維座標的原點(0,0)，把棋盤的右上角看做二維座標(n,n)(座標系的單位長度為小方格的變長)     用f(i,j)表示移動到座標f(i,j)的走法總數，其中0=<i,j<=n，我們即求f(n,n)這樣我們就可以遞迴的定義子問題

f(n,n)=f(n-1,n)+f(n,n-1). 於是狀態f(i,j)的狀態轉移方程為： f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1)   if i,j>0 f(i,j)=f(i,j-1)            if i=0 f(i,j)=f(i-1,j)            if j=0 初始情況就為：f(0,0)=0, f(0,1)=1, f(1,0)=1，這個問題可以在時間O(n^2)，空間O(n^2)內求解，非遞迴解。

2，給定一個m*n的格子或棋盤，問從左下角走到右上角的走法總數（每次只能向右或向上移動一個方格邊長的距離） 解答：這個問題和第1題的解答是類似的。只不過最終求的是f(m,n)=f(m-1,n)+f(m,n-1)，初始為f(0,0)=0,f(0,1)=1,f(1,0)=1，所以兩個解法的通用方案為： /* 走方格問題，給定一個m*n的小方格子組成的棋盤，問從棋盤左下角走到右上角的走法總數。 遞迴解 */ int solve_cube_work(int m,int n){ if(m==0 && n==0) return 0; if(m==1 && n==0) return 1; if(m==0 && n==1) return 1; if(m==0) return solve_cube_work(m,n-1); if(n==0) return solve_cube_work(m-1,n); return solve_cube_work(m-1,n)+solve_cube_work(m,n-1); } /* 走方格問題，給定一個m*n的小方格子組成的棋盤，問從棋盤左下角走到右上角的走法總數。 非遞迴解 */ int solve_cube_work_iter(int m,int n){ int **Q=new int*[m+1]; for(int i=0;i<=m;i++){ Q[i]=new int[n+1](); } //初始化 Q[0][0]=0; for(int j=1;j<=n;j++) Q[0][j]=1; for(int i=1;i<=m;i++) Q[i][0]=1; //迭代計算 for(int i=1;i<=m;i++){ for(int j=1;j<=n;j++){ Q[i][j]=Q[i-1][j]+Q[i][j-1]; } } int res=Q[m][n]; delete [] Q; return res; }

           

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