前面討論的各種資料結構中，記錄在各種結構中的相對位置是隨機的，和在記錄的關鍵字之間不存在有確定的關係，因此在查詢記錄是需要進行一系列和關鍵字的比較。而理想的情況是不希望進行任何的比較，一次存取便能得到所查記錄。那就必須在記錄的儲存位置和它的關鍵字之間建立一種確定的關係f，使每個關鍵字和結構中有一個唯一的儲存位置與之相對應。我們稱這個對應關係f為雜湊函式，而按這個思想建立的表為雜湊表。

在很多應用中，都要用到一種動態集合結構，它僅支援INSERT, SEARCH和DELETE字典操作。

實現字典的一種有效資料結構為散列表(hash table) 。在最壞情況下，在散列表中，查詢一個元素的時間與在連結串列中查詢一個元素的時間相同，在最壞情況下都是Θ(n)。但在實踐中，雜湊技術的效率是很高的。

直接定址表：

直接定址表就是陣列。當關鍵字的全域U比較小時，直接定址是一種簡單而有效的技術。如，如果全域為U={0，1，…,m-1}。則可以使用長度為m的陣列。

如：

散列表：

直接定址技術的缺點很明顯：如果全域U很大，則儲存大小為|U|的陣列是不切實際的，而且如果實際儲存的關鍵字集合K相對於全域U來說很小的時候，會造成巨大的浪費。此時採用散列表。

在直接定址方式下，具有關鍵字k 的元素被存放在槽k中。在雜湊方式下，該元素處於h(k)中，即利用雜湊函式h, 根據關鍵字k計算出槽的位置。函式h將關鍵字域U 對映到散列表T[0...m-1]的槽位上：

採用雜湊函式的目的就在於縮小需要處理的下標範圍，即我們要處理的值就從IUI降到m了，從而相應地降低了空間開銷。

如：

這裡會存在所謂“衝突”的問題：兩個關鍵字可能被對映到同一個槽位中。由於全域|U|>M，所以衝突是無法避免的，所以一方面需要精心設計雜湊函式來儘量減少衝突的次數，另一方面是需要解決衝突的方法。

通過連結法解決碰撞：

在連結法中，把雜湊到同一槽中的所有元素都放在一個連結串列中，如下圖所示。槽j中有一個指標， 它指向由所有雜湊到j的元素構成的連結串列的頭；如果不存在這樣的元素，則j中為NIL。

在採用連結法解決碰撞後，散列表T上的字典操作就很容易實現。

虛擬碼：

CHAINED-HASH-INSERT(T,x)
    insert x at the head of list T[h(key[x])]
CHAINED-HASH-SEARCH(T,k)
    search for an element with key k in list T[h(k)]
CHAINED-HASH-DELETE(T,x)
    delete x from the list T[h(key[x])]

插入操作的最壞情況執行時間為O(1) 。插入過程要快一些，因為假設要插入的元素x沒有出現在表中；如果需要，在插入前執行搜尋，可以檢查這個假設（付出額外代價） 。查詢操作的最壞情況執行時間與表的長度成正比。

對用連結法雜湊的分析：

給定一個具有m個槽位，儲存了n個元素的散列表T，定義T的裝載因子α為n/m，即，一個連結串列中的平均元素數目。α可能小於，等於，或大於1。

雜湊方法的平均效能依賴於所選取的雜湊函式h，將所有的關鍵字集合分佈到m個槽位上的均勻程度。假定對於任何一個給定的元素，等可能的雜湊到m個槽位中的任何一個，且與其他元素被雜湊到什麼位置上無關，稱這個假設為簡單均勻雜湊。

在簡單均勻雜湊的情況下，對於採用連結法的散列表，一次不成功查詢和一次成功查詢所需的平均時間都為Θ(1+α)。

因此，若散列表的槽位數正比於其中的元素個數，我們有n = O(m)，於是，α = n/m = O(m)/m = O(1)。因此，查詢時間平均為常數。由於插入操作首先需要呼叫CHAINED-HASH-SEARCH確認元素x的關鍵值未曾出現在表中，然後用O(1)時間將x插入到連結串列T[h(key[x])]中，所以期望的時間是O(1)。相仿地，刪除操作對雙向拉鍊表平均情形時間也是O(1)，所以所有的字典操作可以在O(1)的平均時間內得到支援。

雜湊函式：

 一個好的雜湊函式應（近似的）滿足簡單均勻雜湊假設：每個關鍵字都等可能的被雜湊到m個槽位中的任何一個，並與其它關鍵字已雜湊到哪個槽位無關。遺憾的是一般無法檢查這一條件是否成立，因為很少能知道關鍵字的概率分佈，而且各個關鍵字可能不是完全獨立的。

如果知道關鍵字的概率分佈，比如關鍵字都是隨機的k，它們獨立均勻分佈在區間[0…1]中，那麼雜湊函式h(k) = km就能滿足簡單均勻雜湊的條件。

將關鍵字解釋為自然數：

多數雜湊函式都假定關鍵字域為自然數集N={0, 1, 2,··· } 。如果所給關鍵字不是自然數，則必須有一種方法來將它們解釋為自然數。例如， 一個字串關鍵字可以被解釋為按適當的基數記號表示的整數。

除法雜湊法：

h(k) = k mod m

其中m為散列表的槽位數，使用除數雜湊法的時候，對於m的選擇要慎重。比如m不應該是2的冪。否則如果m=2的p次方，則h(k)就是k的p個最低位數字（二進位制）。除非已經知道關鍵字的最低p位數的排列是等可能的，否則在設計雜湊函式時，應該考慮關鍵字的所有位。

一個不太接近2的整數冪的素數是m個一個比較好的選擇。

乘法雜湊法：

h(k) = m(kA mod 1)，其中"kA mod 1" 即kA的小數部分。

乘法方法的一個優點是對m的選擇沒有什麼特別的要求， 一般選擇它為2的某個冪次(m =2的p次方, p為某個整數)，最佳的選擇為A。

直接定址法：

h(k) = k或 h(k) = ak + b 

其中a和b為常數。實際中能使用這種雜湊函式的情況很少。

數字分析法：

假設關鍵字是以r為基的數（比如以10為基的十進位制數），並且雜湊表中可能出現的關鍵字都是事先知道的，則可取關鍵字的若干位組成雜湊地址。

全域雜湊法：

全域雜湊的基本思想是在執行開始時，就從一族仔細設計的函式中、隨機地選擇一個作為雜湊函式。就像在快速排序中一樣，隨機化保證了沒有哪一種輸人會始終導致最壞情況性態。同時，隨機化使得即使是對同一個輸入，演算法在每一次執行時的性態也都不一樣。這樣就可以確保對於任何輸人，演算法都具有較好的平均情況性態。

開放定址法：

在開放定址法(open addressing) 中，所有的元素都存放在散列表裡。即每個表項或包含動態集合的一個元素，或包含NIL。當查詢一個元素時，要檢查所有的表項，直到找到所需的元素，或者最終發現該元素不在表中。

在開放定址法中，散列表有可能會被填滿，因而裝載因子α <=  1。

在開放定址法中，字典操作需要找到一個”槽序列”，比如要插入元素，需要按照某個槽序列探查散列表，直到找到一個空槽。探查的序列不一定是0,1…m-1。而是要依賴於待插入的關鍵字。對於每一個關鍵字k，探查序列為：h(k,i)   (0 <= i <= m-1)。

虛擬碼：

HASH_INSERT(T, k)            
    i= 0                      
    repeat j = h(k, i)                                     
        if T[j] == NIL
            then T[j]= k           
            return  j            
        else i=i+1               
    until  i==m
error  "hash table overflow"
HASH_SERACH(T,k)
    i = 0
    repeat j = h(k, i)
        if T[j] == k
            then return j
        i = i+1
        until T[j] == NIL or i ==m
    return NIL

查詢關鍵字k的演算法的探查序列與將k插入時的插入演算法是一樣的。當在查詢過程中碰到一個空槽時，查詢演算法就（非成功地）停止，因為如果k確實在表中的話，也應該在該處，而不是探查序列的稍後位置上（之所以這樣說，是因為我們假定了關鍵字不會被刪除）。過程HASH-SEARCH的輸入為一個散列表T和一個關鍵字k，如果槽j中包含關鍵字k則返回j；如果k不在表T中，則返回NIL 。

刪除操作執行起來比較困難，當我們從槽i中刪除關鍵字時，不能簡單地讓T[i]=NIL，因為這樣會破壞查詢的過程。假設關鍵字k在i之後插入到散列表中，如果T[i]被設為NIL，那麼查詢過程就再也找不到k了。解決這個問題的方法是引入一個新的狀態DELETED，而不是NIL，這樣在插入過程中，一旦發現DELETED的槽，便可以在該槽中放置資料，而查詢過程不需要任何改動。但如此一來，查詢時間就不再依賴於裝載因子了，所以在必須刪除關鍵字的應用中，往往採用連結法來解決碰撞。

均勻雜湊：

假設每個關鍵字的探查序列等可能的為（0,1,……m-1）的m!種排列中的任何一種。真正的均勻雜湊難以實現，有三種技術常用來計算開放定址法中的探查序列：線性探查，二次探查，雙重探查。這些技術均不滿足均勻雜湊的假設。

線性探查：

h(k,i) = (h’(k) + i) mod m    i = 0,1,…,m-1

給定一個關鍵字k，首先探查槽位h’(k)，然後是h’(k) + 1，以此類推，直到最後的h’(k)-1。線上性探查中，初始探查位置決定了整個序列，所以有m種不同的探查序列。

線性探查有個缺點，就是一次群集。當表中i，i+1，i+2位置上都已經填滿時，下一個雜湊地址為i，i+1，i+2，i+3的關鍵字記錄都將競爭i+3的位置。隨著連續被佔用的槽位不斷增加，平均查詢時間也不斷增加。

二次探查：

h(k,i) = (h'(k) + c1i +c2i^2) mod m     i = 0,1,…,m-1

後續的探查位置要在此基礎上加上一個偏移量，該偏移量以二次的方式依賴於探查號i。這種探查的效果要比線性探查好。但是，如果兩個關鍵字的初始探查位置相同，那它們的探查序列也是相同的，這一性質會導致二次群集。類似於線性探查，二次探查也僅有m個不同的探查序列。

雙重雜湊：

h(k,i) = (h1(k) +i*h2(k)) mod m     i = 0,1,…,m-1

其中h1和h2為輔助雜湊函式。初始探查位置為T(h1(k) ] , 後續的探查位置在此基礎上加上偏移量h2(k)模m 。

雙重雜湊是開放定址法中的最好方法之一，不像線性和二次探查，雙重探查的的探查序列以兩種不同的方式依賴於關鍵字k。

為能查詢整個散列表，值h2(k)要與表的大小m互質。確保這個條件成立的一種方法是取m為2的幕，並設計一個總產生奇數的h2。另一種方法是取m為質數，並設計一個總是產生較m小的正整數的h2。

如：

我們可以取m為質數，並取h1(k) = k mod m, h2(k) = 1 + (k mod m')，其中m' 略小於m( 如m-1) 。比如，如果k=123456 ，m=701， m'=700，則有h1(k)=80，h2(k) = 257, 可知第一個探查位置為80, 然後檢查每第257個槽（模m), 直到找到該關鍵字，或查過了所有的槽。

給定一個裝載因子為a=n/m< l 的開放定址散列表，在一次不成功的查詢中，期望的探查數至多為1/ (1 一a) 。假設雜湊是一致的。

完全雜湊：

完全雜湊將關鍵字通過一級雜湊函式h1和二級雜湊函式h2後對映到二級雜湊中，其中，關鍵字個數等於桶數(n=m)，二級雜湊的大小N(T[i])為關鍵字個數的平方，用以保證完全O(n)的儲存空間，以及O(1)的訪問效率。但實際上，不可能真正地完全實現無衝突。

如：