教材學習內容總結

堆

• 堆：是一顆完全二叉樹，每一個結點都小於等於左右孩子（最小堆），或大於等於左右孩子（最大堆）他的每一個子樹也是最小堆或最大堆。
• 堆的操作
• addElement操作（堆的插入）
  • 插入新結點時，是作為葉子結點插入的，且一定要保持樹的完整性。如果最下層不滿，插入到左邊的下一個空位，如果最底層是滿的，插入到新一層的左邊第一個位置。
  • 如果插入的數相對樹而言較小，則需要在插入後進行重排序
    
• removeMin方法（堆的刪除）
  • 由於最小元素儲存在根處，為了維持樹的完整性，那麼只有一個能替換根的合法元素，且它是儲存在樹中最末一片葉子上的元素（將是樹中h層上最右邊的葉子）。
  • 將替換元素移到根部後，必須對該堆進行重排序。
    
• findMin操作
  • 這個方法需要返回在最小堆中最小元素的引用，由於最小堆中最小元素在根處，所以只需返回根部元素即可。

使用堆：優先順序佇列

• 具有更高優先順序的專案在先。
• 具有相同優先順序的專案使用先進先出的方法來確定其排序。
• 雖然最小堆不是一個佇列，但它提供了一個高效的優先順序佇列實現。

用連結串列實現堆

• 由於要求插入元素後能夠向上遍歷樹，所以堆結點中必須儲存指向雙親的指標。
• 由於BinaryTreeNode類沒有雙親指標，所以要建立一個HeapNode類開始連結串列實現。
  • addElement操作
    • 在適當位置新增一個新元素
    • 對堆進行重排序以維持其排序屬性
    • 將lastNode指標重新設定為指向新的最末結點
    • 在這個方法中用到了getNextParentAdd方法（返回指向某結點的引用，該結點為插入結點的雙親），還有一個heapifyAdd方法，（完成對堆的任何重排序，從新葉子開始向上處理至根處）
    • addElement操作有三步
      • 首先要確定插入結點的雙親（從堆的右下結點往上遍歷到根，再往下遍歷到左下結點，時間複雜度為2*logn）
      • 其次是插入新結點（只涉及簡單的賦值語句，時間複雜度為O（1））
      • 最後是從被插入葉子處到根處的路徑重排序，來保證堆的性質不被破壞（路徑長度為logn，最多需要logn次比較）
      • 因此addElement操作的複雜度為2*logn+1+logn，即為O（logn)
  • removeMin操作
    • 用最末結點處的元素替換根處元素
    • 對堆進行重排序
    • 返回初始的根元素

用陣列實現堆

• 陣列相比於連結串列，優點是不需要遍歷來查詢最末一片葉子或下一個插入結點的雙親，直接檢視陣列的最末一個元素即可。
• 在陣列中，樹根存放在0處，對於每一個結點n，n的左孩子位於陣列2n+1處，n的右孩子位於陣列的2（n+1）處。同樣，反過來查詢時，對於任何除了根之外的結點，n的雙親位於（n-1）/2位置處。
• addElement操作
  • 在恰當位置處新增新結點
  • 對堆進行重排序以維持其屬性
  • 將count遞增1
  • 只需要一個heapifyAdd方法進行重排序，不需要重新確定新結點雙親位置。此方法的時間複雜度是O(logn)
• removeMin操作
  • 用最末元素替換根元素
  • 對堆進行重排序
  • 返回初始根元素
  • 由於末結點儲存在陣列的count-1位置處，所以不需要確定最新末結點的方法，此方法複雜度為O(logn)
• findMin操作
  僅僅返回根處元素即可，就是陣列的位置0處，複雜度為O(1)

使用堆：堆排序

• 堆排序的過程（由兩部分構成，新增和刪除）
  • 將列表的每一元素新增到堆中
  • 一次一個將他們從根刪除，再次存放到陣列中
  • 最小堆時得到的排序結果是升序，最大堆時得到的排序結果是降序
  • 對於每一個結點來說，新增和刪除操作的複雜度都是O(logn),所以對於有n個結點的堆來說，複雜度是O(nlogn)
• 堆排序的複雜度具體分析
  • 堆化過程一般是用父節點和他的孩子節點進行比較，取最大的孩子節點和其進行交換；但是要注意這應該是個逆序的，先排序好子樹的順序，然後再一步步往上，到排序根節點上。然後又相反（因為根節點也可能是很小的）的，從根節點往子樹上排序。最後才能把所有元素排序好。對於每個非葉子的結點，最多進行兩次比較操作（與兩個孩子）因此複雜度為2*n
  • 排序過程就是把根元素從堆中刪除，刪除每個元素複雜度為logn,對所有元素來說，複雜度為nlogn。
  • 所以是2*n + nlogn,複雜度是O(nlogn)
    

教材學習中的問題和解決過程

• 問題一：getNextParentAdd方法的程式碼理解

• 問題一解決：
  * 第一種情況
  
  首先考慮while迴圈，result為8，他是左孩子，所以不進入while迴圈，接著往下，他不是根結點，他不是父結點的右孩子，所以result為父結點5，即返回的插入結點的雙親。
  * 第二種情況
  
  result為0，雙親結點的左孩子為-2，所以進入while迴圈，result為3，接下來進入if語句，他不是根結點，而且父結點的右孩子（1）不為空，所以返回的插入結點的雙親結點是1
  * 第三種情況
  
  while迴圈中，result（2）不是左孩子，所以result為雙親結點1，往下，他是根結點，而且左子樹不為空，result為左孩子0.這種情況就相當於滿樹時插入到新一層的左邊位置。

  private HeapNode<T> getNextParentAdd() {
      HeapNode<T> result = lastNode;// 當前的空白結點
      while ((result != root) && (result.getParent().getLeft() != result))//如果當前不是一個滿堆，他不是左孩子
          result = result.getParent();
      if (result != root) {
          // /不是一個滿堆
          if (result.getParent().getRight() == null)//右邊是空位
              result = result.getParent();
          else {//右邊不空
              result = (HeapNode<T>) result.getParent().getRight();
              // 不斷的向下尋找最後的父結點
              while (result.getLeft() != null)
                  result = (HeapNode<T>) result.getLeft();
          }
      } else {// 當前堆是一個滿堆
          while (result.getLeft() != null)
              result = (HeapNode<T>) result.getLeft();
      }
      return result;
  }

• 問題二：heapifyAdd方法的程式碼理解

• 問題二解決：舉個例子，

  private void heapifyAdd() {
      T temp;
      HeapNode<T> next = lastNode;
      temp = next.getElement();
      while ((next != root)
              && (((Comparable) temp)             .compareTo(next.getParent().getElement()) < 0)) {
          next.setElement(next.getParent().getElement());
          next = next.parent;
      }
      next.setElement(temp);
  }

  
  如圖在樹中插入結點2，那麼next指向2，temp=2，這時next不是根結點，並且2（temp）比4（next.getParent().getElement()）小，所以現在next的值設定為4（即原來2的那個位置變成4），next指向原來next的父親結點（即原來的4位置），然後將next的值設為temp即2（原來4的位置變為2），這樣就將2和4換位，實現了重排序。

• 問題三：堆排序的過程

• 問題三解決：首先把待排序的元素在二叉樹位置上排列，然後調整為大頂堆或小頂堆，接下來進行排序，以小頂堆為例，根結點為最小，所以拿掉根，然後對堆進行調整，使其符合小頂堆的要求，然後新的堆頂又是最小的，將其拿掉，如此迴圈...藍墨雲關於這個的測試題，重新梳理一下如圖，大頂堆的過程與其類似，但注意在程式碼實現中，小頂堆排序結果為升序，大頂堆排序結果為降序
  

  

• 問題四：對於優先順序佇列的理解
• 問題四解決：佇列是一種特徵為FIFO的資料結構，每次從佇列中取出的是最早加入佇列中的元素。但是，許多應用需要另一種佇列，每次從佇列中取出的應是具有最高優先權的元素，這種佇列就是優先順序佇列。優先順序佇列的特點：
  • 優先順序佇列是0個或多個元素的集合，每個元素都有一個優先權或值。
  • 當給每個元素分配一個數字來標記其優先順序時，可設較小的數字具有較高的優先順序，這樣更方便地在一個集合中訪問優先順序最高的元素，並對其進行查詢和刪除操作。
  • 在最小優先順序佇列(min Priority Queue)中，查詢操作用來搜尋優先順序最小的元素，刪除操作用來刪除該元素。在最大優先順序佇列(max Priority Queue)中，查詢操作用來搜尋優先順序最大的元素，刪除操作用來刪除該元素。
  • 每個元素的優先順序根據問題的要求而定。當從優先順序佇列中刪除一個元素時，可能出現多個元素具有相同的優先權。在這種情況下，把這些具有相同優先權的元素按先進先出處理。

程式碼除錯中的問題和解決過程

• 問題一：在做藍墨雲測試構造大頂堆並排序時，對於過程的輸出結果是每次將最大數從堆頂拿下時的結果，並不是顯示每次排序時的陣列情況。
  

• 問題一解決：主要錯誤之處在於測試類，如圖中顯示，我的過程記錄是

  for(int i=0;i<8;i++){
      array2.addElement(array.removeMax);
      array2.removeMax();
      System.out.println("第"+i+"次為:"+ array2);
  }

  首先，在迴圈中array中每次拿掉的最大數新增到array2中，然後輸出的是array2中的最大數，那麼就相當於每次把array中的最大數輸出，array2沒有什麼作用。應該為

  for (int i = 0; i <a.length; i++) {
          array2[i]=array.removeMax();
          System.out.println("第"+ i +"次為："+ array);
      }

  這樣就把array2的作用發揮出來了，array2中存放array中依次彈出的最大數，在array2中降序排列，然後每次輸出array陣列，顯示現在陣列情況，排序的結果就可以用類似上面的for迴圈依次將array2中的數輸出。
• 問題二：在做PP12.1時，對於優先順序佇列的輸出情況理解有問題。

• 問題二解決：測試類通過在迴圈中使用queue.removeNext()方法，是由於PriorityQueue類中removeNext方法繼承了ArrayHeap類中的removeMin方法，而在ArrayHeap類中，removeMin又使用了方法heapModifyRemove，其中

  else if (((Comparable)tree[left]).compareTo(tree[right]) < 0)
          next = left

  當left比right小時，返回左，我最開始不理解的是在優先順序佇列中，當優先順序相同時

  if (arrivalOrder >obj.getArrivalOrder())//優先順序相同時，先進先出
        result = 1;

  應返回左邊的arrivalOrder，但在heapModifyRemove中來說，卻返回compareTo右邊的，所以我覺得矛盾，進行多次測試後我發現輸出的結果沒有錯。又仔細看程式碼之後發現，優先順序相同時，返回1的情況是arrivalOrder較大，那麼就代表它是後進的，並不是跟優先順序一樣大的先，arrivalOrder越大代表晚進，應該後出，所以正好反一下。

• 問題三：實現ArrayHeap類時，發現輸出結果總是多一個數
  

• 問題三解決：參考了譚鑫同學的部落格，裡面提到了解決辦法，如圖
  
  新增語句之後解決問題，原因是在將根結點拿掉並用末葉子結點替換後並沒有將葉結點刪除，所以導致出現兩次，新增語句tree[count-1] = null;之後，將其值設定為空，相當於刪除。

程式碼託管

上週考試錯題總結

• 錯題一：

• 錯題一解決：CompareTo方法返回值是int型的，如果前者比後者大的話返回1，小的話返回-1，相等返回0.

結對及互評

• 20172305譚鑫：譚鑫的部落格中提到的”問題1:實現優先順序佇列的二叉堆、d堆、左式堆、斜堆、二項堆都是什麼意思？和最小堆、最大堆有什麼區別？”是我沒有學習過的，學習到了左式堆，二項堆，斜堆等堆。同時參考他的部落格解決了一個程式碼問題，非常有價值。
• 20172323王禹涵：王禹涵的部落格對程式碼的解釋很詳盡，排版精美，很舒適。

其他

這一章感覺原理很容易理解，邏輯簡單，但用程式碼實現不好理解，但是書上程式碼的可用性很高，然後實驗方面也花費較長時間，總結出來就是要儘早去掌握核心程式碼再開展學習。

學習進度條

參考：

• 排序演算法之 堆排序 及其時間複雜度和空間複雜度
• 優先順序佇列