不是很noip的知識點就不寫了。

dij什麽的太easy就不寫了。

縮點

• 註意\(Tarjan\)在縮邊雙和求強聯通分量時候的區別。
• 一個要判斷是否在棧內一個不要。
• 最後\(topsort\)來\(dp\)，或者記憶化搜索，但是一定要記得初值為\(-1\)。
• 考慮圖不聯通。

負環

• 考慮圖不聯通。
• 一開始\(dis=0\)，判斷最短路長度大於\(n\)會好一些。
• \(dfs\)型\(spfa\)是指數級的。

ST表

• 註意是\(i\)到\(i+2^k-1\)。
• 所以預處理的時候不要減1，因為已經減過了。查詢的時候要加1因為要把減去的1去掉。

Mx[j][i]=max(Mx[j-1][i],Mx[j-1][i+(1<<(j-1))]);
printf("%d\n",max(Mx[k][l],Mx[k][r-(1<<k)+1]));
 

• \(O(n)\)預處理\(log\)。

線性基

• 用於查詢多個數異或問題，本質是高斯消元，也可以用來解方程（\(flash\)的考試題）。
• 記得\(1ll\)，線性基的值域與原數組的值域相同，且各個之間線性無關。
• 如果要查詢某個數，就是查找某個數是否可以由這\(n\)個數中任一個數異或得到。首
• 從高到低掃這個數的每一位，如果這第\(i\)位為\(1\)，就異或上\(P_i\)，然後知道處理到最後一位。如果變成 \(0\) 了，那麽就是可以的。
• 查詢第\(k\)大數。
• 查詢異或集合中k小值
• 我們考慮改造一下線性基，使得每一位互相獨立。
• 如果\(j<i\)，且\(p_i\)的第\(j\)
  位是\(1\)，就把\(p_i\ xor\ p_j\)。
• 這樣，對於二進制的每一位\(i\)。只有\(p_i\)這一位是\(1\)，其他的都是\(0\)。
• 同樣，這個線性基的本質也是沒有改變的。
• 我們查詢的時候，將\(k\)進行二進制拆分，如果第\(i\)位是\(1\)，就異或上線性基中第\(i\)個元素，最終得出的答案就是\(k\)小值。
• 此外，需要對非滿秩的矩陣進行特判。因為其存在\(0\)的結果，如果要求最小，那麽就是\(0\)。
• 如果不是，那麽就是求當前矩陣下的第\((k-1)\)小。

splay 區間反轉

• 和\(lct\)一樣，註意棧序下放標記

S[S[0]=1]=x;
for(R i=x;fa[i];i=fa[i])S[++S[0]]=fa[i];
while(S[0])push(S[S[0]--]);
 

• 一定要記得先\(find\)到目標點再轉到根而不是直接做。這裏的\(find\)和整體二分是不一樣的！

push(x);
if(k<=sz[ls])x=ls;
else if(k==sz[ls]+1){spl(x,gl);return x;}
else k-=(sz[ls]+1),x=rs;

• 提醒幾個常見小錯誤：

void rot(R x){
    R y=fa[x],z=fa[y],k=son(x);
    ch[z][son(y)]=x,fa[x]=z;
    ch[y][k]=ch[x][k^1],fa[ch[x][k^1]]=y;
    ch[x][k^1]=y,fa[y]=x;upd(y);
}

• \(rot\)要\(upd(y)\)，而不是\(upd(x)\)，如果都\(upd\)要先\(y\)再\(x\)，不要搞反。
• 註意一開始要先記下來\(x\)是哪一個兒子，然後先拆開，再接起來。

for(R y=fa[x];y!=gl;rot(x),y=fa[x])
    if(fa[y]!=gl)son(x)^son(y)?rot(x):rot(y);
upd(x);if(!gl)rt=x;

• 記得判斷\(y\)和\(gl\)的關系再決定轉一次還是兩次還是不轉。
• 一定記得更新\(x\)和\(rt\)。

splay 普通平衡樹

• 每次打這個都像在做模擬題……。
• 兩個log的樹狀數組把一個log的splay掉起來打
• treap只會過兩個月現在早就忘了
• 太麻煩了，還不如樹狀數組或者線段樹。
• 反正你又沒有區間反轉。
• 太熱了不寫了咕咕。

樹鏈剖分

• 剖分之後一般是搞個線段樹對\(dfn\)序維護。
• 樹上路徑就暴力跳重鏈條，兩個\(log\)。
• 子樹信息就直接是\(dfn\)到\(dfn+sz-1\)的連續區間，一個\(log\)。
• 如果是維護兒子信息就是\(bfs\)序 [SDOI2012]集合
• 但是我不會啊，咕。

倍增

• 太普及了。

左偏樹

• 可並堆，註意不能路徑壓縮。
• 合並的時候根據堆的屬性來判斷，合並在右子樹。
• 然後強制向左偏，我的習慣是深度向左偏。
• 記得更新\(d_i=d_{rs}+1\)。
• 刪除元素就把兩個兒子並起來。

kmp

• 核心思想是嘗試匹配。
• 求\(next\)的時候是

j=f[i-1];
while(j>=0&&T[i]!=T[j+1])j=f[j];
if(T[i]==T[j+1])f[i]=j+1;
else f[i]=-1;

• 也就是不斷嘗試能否接上一個新的後綴，否則就不斷跳\(next\)，直到為\(-1\)。
• 查詢的時候是j=f[j-1]+1;，也就是往前走一個，再調\(next\)，再往後走一個，也就是\(j\)失配，\(j-1\)配對好了，那麽利用\(j-1\)的\(next\)，再往後走一個。

AC自動機

• 主要思想是\(fail\)樹。
• 先建好\(trie\)，然後建\(fail\)，然後每次匹配的時候都把\(fail\)的信息都收集一邊。

trie

• 難道你會了\(ac\)自動機還不會\(trie\)？？
• 可持久化：和主席樹差不多，序列就是相差，樹上就是減去兩倍\(lca\)
• 啟發式合並：和線段樹啟發合並差不多，也是一個\(merge\)。

最小生成樹

• 本來想補一下\(B\)算法。
• 但是咕咕了。

dinic

• 記得當前弧優化，邊從\(2\)開始。
• 主要技巧在建圖，後面都是板子。

最小費用最大流

• 同上。

主席樹

• 動態開點，一般和別的數據結構結合在一起。
• 序列右邊繼承左邊，樹上兒子繼承父親。

點分治

• 你家\(noip\)考點分治？？咕咕。

manacher

• 記錄最遠到達的位置和中心。
• 然後就知道了當前點的半徑下界是對稱過去的半徑。
• 然後暴力更新當前半徑，更新最遠距離和中心。

模擬退火

• 系統鐘

db Tim(){return (db)clock()/(db)CLOCKS_PER_SEC;}

• 生成一個於\(T\)大小相關的隨機，帶正負。

#define RD T*(rand()*2-RAND_MAX)

• 接受更劣解的概率

exp((ans-now)/T)*RAND_MAX>rand())

• 註意，\(now\)是當前答案，\(ans\)是當前\(sa\)的最優解，記得保存全局最優解\(bst\)。
• 隨機數組

random_shuffle(x+1,x+n+1);

CDQ

• 每次強制計算跨過中點的貢獻。

kdtree

• 註意替罪羊的重構方法。

最小循環表示法

• 今天才學。
• 先倍長，初始時，讓\(i=0\)，\(j=1\)，\(k=0\),其中\(i\)，\(j\)，\(k\)表示的是以\(i\)開頭和以\(j\)開頭的字符串的前k個字符相同。
• 分為三種情況
• 1.如果\(str[i+k]==str[j+k]\) \(k++\)。
• 2.如果\(str[i+k] > str[j+k]\) \(i = i + k + 1\)，即最小表示不可能以\(str[i->i+k]\)開頭。
• 3.如果\(str[i+k] < str[j+k]\) \(j = j + k + 1\)，即最小表示不可能以\(str[j->j+k]\)開頭。
• 那麽只要循環\(n\)次，就能夠判斷出字符串的最小表示是以哪個字符開頭。
• 為什麽當\(str[i+k] > str[j+k]\),\(i=i+k+1\)，最小表示不可能以\(str[i->i+k]\)開頭,讓我們來舉個栗子。
• 如下圖，當\(i=1\)，\(j=5\)，\(k=3\)時，\(str[i+k] > str[j+k]\)。
• 首先有\(S1S2S3 == S5S6S7\)，\(S4 > S8\)。
• 那麽以字符\(S2\)開頭肯定不如以字符\(S6\)開頭更優，因為\(S4 > S8\)啊。

莫隊

• 太熱了不寫了。

noip級別模板小復習