二維RMQ 思想及模板
二維RMQ問題就是求一個矩陣N*M中的一個小塊矩陣內的最值問題.其中dmin[i][j][ii][jj]=x表示以(i, j)為左上角,以(i+(1<<ii)-1, j+(1<<jj)-1 )為右下角的矩陣內的最小值.dmax的值類似.
下面dmin[i][j][ii][jj]的值如何求呢?首先我們知道dmin[i][j][0][0]的值就是v[i][j],而假設dmin[i][j][ii][jj]中的ii不為0,那麼dmin[i][j][ii][jj]= min(dmin[i][j][ii-1][jj], dmin[i+(1<<ii)][j][ii-1][jj] );如果ii為0,那麼就按jj來求.
其實上面的求法就是等於把二維問題轉變為一維問題來求解.
下面我們討論如何查詢結果.
對於一個以(x1, y1)為左上角,以(x2, y2)為右下角的矩形,如何求它的最小值和最大值呢?下面假設我們求最小值:
我們把(x1，y1)與(x2，y2)構成的矩形分成四小塊，這四小塊可能有重合部分，但是它們共同構成了目標矩形：
dmin[x1][y1][ii][jj]
dmin[x1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj]
dmin[x2-(1<<ii)+1][y1][ii][jj]
dmin[x2-(1<<ii)+1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj]
(自己想象下上面4小塊是怎麼樣的？)
temp 1=min(dmin[x1][y1][ii][jj] , dmin[x1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj])
temp 2=min(dmin[x2-(1<<ii)+1][y1][ii][jj] ,dmin[x2-(1<<ii)+1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj] )
最終結果是min(temp1, temp2);
//POJ 2019
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=300;
int val[MAXN][MAXN];
int dmin[MAXN][MAXN][10][10];
int dmax[MAXN][MAXN][10][10];
void initRMQ(int n,int m)//對n*m的矩陣初始化RMQ且矩陣下標從1開始
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
dmin[i][j][0][0]=dmax[i][j][0][0]=val[i][j];
for(int ii=0;(1<<ii)<=n;ii++)
for(int jj=0;(1<<jj)<=m;jj++)
if(ii+jj)
for(int i=1;i+(1<<ii)-1<=n;i++)
for(int j=1;j+(1<<jj)-1<=m;j++)
if(ii)
{
dmin[i][j][ii][jj] = min(dmin[i][j][ii-1][jj] ,dmin[i+(1<<(ii-1))][j][ii-1][jj]);
dmax[i][j][ii][jj] = max(dmax[i][j][ii-1][jj] ,dmax[i+(1<<(ii-1))][j][ii-1][jj]);
}
else
{
dmin[i][j][ii][jj] = min(dmin[i][j][ii][jj-1] , dmin[i][j+(1<<(jj-1))][ii][jj-1]);
dmax[i][j][ii][jj] = max(dmax[i][j][ii][jj-1] , dmax[i][j+(1<<(jj-1))][ii][jj-1]);
}
}
int getMax(int x1,int y1,int x2,int y2)//RMQ查詢
{
int k1=0;
while((1<<(k1+1))<=x2-x1+1)k1++;
int k2=0;
while((1<<(k2+1))<=y2-y1+1)k2++;
x2 = x2 - (1<<k1)+1;
y2 = y2 - (1<<k2)+1;
return max(max(dmax[x1][y1][k1][k2],dmax[x1][y2][k1][k2]) ,max(dmax[x2][y1][k1][k2],dmax[x2][y2][k1][k2]) );
}
int getMin(int x1,int y1,int x2,int y2)//RMQ查詢
{
int k1=0;
while((1<<(k1+1))<=x2-x1+1)k1++;
int k2=0;
while((1<<(k2+1))<=y2-y1+1)k2++;
x2 = x2 - (1<<k1)+1;
y2 = y2 - (1<<k2)+1;
return min( min(dmin[x1][y1][k1][k2],dmin[x1][y2][k1][k2]) ,min(dmin[x2][y1][k1][k2],dmin[x2][y2][k1][k2]) );
}
例題：
題意：
給你一個n*n的整數矩陣，然後有k個詢問且給你一個常數b。對於每個詢問(x,y)，你要輸出以(x,y)為左上角，以(x+b-1，y+b-1)為左下角的矩形 內整數最大值-最小值的差。
分析:
基本的二維RMQ查詢.
類似於二維樹狀陣列問題,二維RMQ問題就是求一個矩陣N*M中的一個小塊矩陣內的最值問題.其中dmin[i][j][ii][jj]=x表示以(i , j)為左上角,以( i+(1<<ii)-1, j+(1<<jj)-1 )為右下角的矩陣內的最小值.dmax的值類似.
下面dmin[i][j][ii][jj]的值如何求呢?首先我們知道dmin[i][j][0][0]的值就是v[i][j],而假設dmin[i][j][ii][jj]中的ii不為0,那麼dmin[i][j][ii][jj] =min(dmin[i][j][ii-1][jj], dmin[i+(1<<ii)][j][ii-1][jj] );如果ii為0,那麼就按jj來求.
其實上面的求法就是等於把二維問題轉變為一維問題來求解.
下面我們討論如何查詢結果.
對於一個以(x1 , y1)為左上角,以(x2 , y2)為右下角的矩形,如何求它的最小值和最大值呢?下面假設我們求最小值:
我們把(x1，y1)與(x2，y2)構成的矩形分成四小塊，這四小塊可能有重合部分，但是它們共同構成了目標矩形：
dmin[x1][y1][ii][jj]
dmin[x1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj]
dmin[x2-(1<<ii)+1][y1][ii][jj]
dmin[x2-(1<<ii)+1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj]
(自己想象下上面4小塊是怎麼樣的？)
temp 1=min( dmin[x1][y1][ii][jj] , dmin[x1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj])
temp 2=min( dmin[x2-(1<<ii)+1][y1][ii][jj] ,dmin[x2-(1<<ii)+1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj] )
最終結果是min(temp1, temp2)；
程式碼：
<span style="font-size:18px;">//POJ 2019
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=255;
int val[MAXN][MAXN];
int dmin[MAXN][MAXN][8][8];
int dmax[MAXN][MAXN][8][8];
void initRMQ(int n,int m)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
dmin[i][j][0][0]=dmax[i][j][0][0]=val[i][j];
for(int ii=0;(1<<ii)<=n;ii++)
for(int jj=0;(1<<jj)<=m;jj++)
if(ii+jj)
for(int i=1;i+(1<<ii)-1<=n;i++)
for(int j=1;j+(1<<jj)-1<=m;j++)
if(ii)
{
dmin[i][j][ii][jj] = min(dmin[i][j][ii-1][jj] ,dmin[i+(1<<(ii-1))][j][ii-1][jj]);
dmax[i][j][ii][jj] = max(dmax[i][j][ii-1][jj] ,dmax[i+(1<<(ii-1))][j][ii-1][jj]);
}
else
{
dmin[i][j][ii][jj] = min(dmin[i][j][ii][jj-1] , dmin[i][j+(1<<(jj-1))][ii][jj-1]);
dmax[i][j][ii][jj] = max(dmax[i][j][ii][jj-1] , dmax[i][j+(1<<(jj-1))][ii][jj-1]);
}
}
int getMax(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
int k1=0;
while((1<<(k1+1))<=x2-x1+1)k1++;
int k2=0;
while((1<<(k2+1))<=y2-y1+1)k2++;
x2 = x2 - (1<<k1)+1;
y2 = y2 - (1<<k2)+1;
return max(max(dmax[x1][y1][k1][k2],dmax[x1][y2][k1][k2]) ,max(dmax[x2][y1][k1][k2],dmax[x2][y2][k1][k2]) );
}
int getMin(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
int k1=0;
while((1<<(k1+1))<=x2-x1+1)k1++;
int k2=0;
while((1<<(k2+1))<=y2-y1+1)k2++;
x2 = x2 - (1<<k1)+1;
y2 = y2 - (1<<k2)+1;
return min( min(dmin[x1][y1][k1][k2],dmin[x1][y2][k1][k2]) ,min(dmin[x2][y1][k1][k2],dmin[x2][y2][k1][k2]) );
}
int main()
{
int n,b,k;
while(scanf("%d%d%d",&n,&b,&k)==3&&n&&b&&k)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&val[i][j]);
initRMQ(n,n);
while(k--)
{
int x1,y1;
scanf("%d%d",&x1,&y1);
int ans=getMax(x1,y1,x1+b-1,y1+b-1)-getMin(x1,y1,x1+b-1,y1+b-1);
printf("%d\n",ans);
}
}
return 0;
}
</span>