整型陣列中只有一個或兩個數出現一次，其它的數都出現偶數次
Question:
一個整型數組裡只有一個或兩個數字之外，其他的數字都出現了偶數次。求這個或這兩個只出現一次的數字
解：
題中關鍵資訊為其它數字出現偶數次，想到異或運算的性質知一個數與自身偶數次異或結果為0，可知如果將陣列中所有的數字進行異或，則結果等於這兩個只出現一次的數字的異或
異或的定義：
異或（xor）是一個數學運算子。它應用於邏輯運算。異或的數學符號為“⊕”，計算機符號為“xor”。其運演算法則為：
a⊕b = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧¬b)
如果a、b兩個值不相同，則異或結果為1。如果a、b兩個值相同，異或結果為0。
有了上面簡單問題的解決方案之後，我們回到原始的問題。如果能夠把原陣列分為兩個子陣列。在每個子陣列中，包含一個只出現一次的數字，而其它數字都出現兩次。如果能夠這樣拆分原陣列，按照前面的辦法就是分別求出這兩個只出現一次的數字了。
我們還是從頭到尾依次異或陣列中的每一個數字，那麼最終得到的結果就是兩個只出現一次的數字的異或結果。因為其它數字都出現了兩次，在異或中全部抵消掉了。由於這兩個數字肯定不一樣，那麼這個異或結果肯定不為0 ，也就是說在這個結果數字的二進位制表示中至少就有一位為1 。我們在結果數字中找到第一個為1 的位的位置，記為第N 位。現在我們以第N 位是不是1 為標準把原陣列中的數字分成兩個子陣列，第一個子陣列中每個數字的第N 位都為1 ，而第二個子陣列的每個數字的第N 位都為0 。
現在我們已經把原陣列分成了兩個子陣列，每個子陣列都包含一個只出現一次的數字，而其它數字都出現了兩次。因此到此為止，所有的問題我們都已經解決。
public class Solution { public void FindNumsAppearOnce(int [] array,int num1[] , int num2[]) { if(array==null ||array.length<2) return ; int temp = 0; for(int i=0;i<array.length;i++) temp ^= array[i]; int indexOf1 = findFirstBitIs(temp); for(int i=0;i<array.length;i++){ if(isBit(array[i], indexOf1)) num1[0]^=array[i]; else num2[0]^=array[i]; } } public int findFirstBitIs(int num){ int indexBit = 0; while(((num & 1)==0) && (indexBit)<8*4){ num = num >> 1; ++indexBit; } return indexBit; } public boolean isBit(int num,int indexBit){ num = num >> indexBit; return (num & 1) == 1; } }
//num1,num2分別為長度為1的陣列。傳出引數
//將num1[0],num2[0]設定為返回結果
public class Solution {
public void FindNumsAppearOnce(int [] array,int num1[] , int num2[]) {
if(array.length < 2) return ;
int myxor = 0;
int flag = 1;
for(int i = 0 ; i < array.length; ++ i )
myxor ^= array[i];
while((myxor & flag) == 0) flag <<= 1;
// num1[0] = myxor;
//num2[0] = myxor;
for(int i = 0; i < array.length; ++ i ){
if((flag & array[i]) == 0) num2[0]^= array[i];
else num1[0]^= array[i];
}
}
}題目中包括三個小的問題，由簡單到複雜：
1，如果只有一個出現一次，考察到異或的性質，就是如果同一個數字和自己異或的活結果為零，那麼迴圈遍歷一遍陣列，將陣列中的元素全部做異或運算，那麼出現兩次的數字全部異或掉了，得到的結果就是隻出現一次的那個數字。
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main(int argv,char* argc[])
{
int index;
int res=0;
int arr[11]={0};
for(index=0;index<11;index++)
{
scanf("%d",&arr[index]);
}
for(index=0;index<11;index++)
{
res^=arr[index];
}
printf("這個數是%d\n",res);
system("pause");
}2，如果有兩個只出現一次的數字，設定為a,b。也是應用異或，但是陣列元素全部異或的結果x=a^b，因為a,b是不相同的數字，因此x肯定不為0。對於x，從低位到高位開始，找到第一個bit位為1的位置設定為第m位，這個第m位的bit肯定來自a或者來自b，不可能同時a,b的第m位（從低到高位）都為1。這樣，就可以根據這個第m位就可以把陣列分為兩個部分，一組為第m位為0，一組為第m位為1.這樣，就把問題分解成了求兩個陣列中只出現一次的數字了。
#include<stdio.h>
int get_first_position(int num) //從低位開始找到第一個位1的bit位
{
int index=1;
int i=0;
while(i<32)
{
if((num&(1<<i))==(1<<i))
break;
else
{
index++;
i++;
}
}
return index;
}
int is_bit_one(int num,int index) //判斷給定的索引位置的bit位是否為1
{
num=(num>>index);
return num&1;
}
void get_two_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2)
{
int exclusive_or_result=0;
*num1=0;
*num2=0;
for(int i=0;i<n;i++)
exclusive_or_result^=a[i];
int index=get_first_position(exclusive_or_result);
for(i=0;i<n;i++)
if(is_bit_one(a[i],index))
(*num1)^=a[i];
for(i=0;i<n;i++)
if(!is_bit_one(a[i],index))
(*num2)^=a[i];
}
void main()
{
int a[]={2,2,4,4,6,6,3,5};
int num1,num2;
get_two_unique_num(a,sizeof(a)/sizeof(int),&num1,&num2);
printf("%d\t%d\n",num1,num2);
}3，考慮給定陣列中有三個單獨出現一次的數字，這個會比有兩個的稍微複雜。分步分析，設定這三個數為a,b,c:
（1）將陣列中的數字全部異或，得到的結果x=a^b^c，但是x不是a，b，c中的其中一個，假設x=a，那麼b^c=0說明b=c，與題目給定的條件矛盾。
(2)設定f(n)可以像2中的那樣，從低位開始，找到第一個bit為1的位置，f(x^a),f(x^b),f(x^c)得到的值肯定都不為0，因為x^a,x^b,x^c本身就不為0。f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)結果不為0。因為f(x^a)^f(x^b)的結果中可能為0，也可能有兩個bit為1。如果假設f(x^c)的結果bit為1的位置與f(x^a)^f(x^b)的其中一個重合，則f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)結果中只有1個bit為1，如果不重合的話那麼有3個bit位為1。
(3)這便可以推斷出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)中至少有一個bit位為1。假設從低位到高位的第mbit位為1.那麼可以得出結論x^a,x^b,x^c中有一個或者三個的第m位為1（不可能有兩個，因為有兩個的話，異或的結果就為0了）。
（4）證明，x^a,x^b,x^c中只有一個第m-bit位為1.假設他們的第m位都為1，那麼x的第m位為0，但是x=a^b^c其第m位肯定為1，所以假設不成立。那麼相反，假設x的第m位為1，a,b,c的第m位都為0，也不成立，因為x=a^b^c。所以綜上所述x^a,x^b,x^c中只有一個第m位為1。那麼這個問題就好辦了。根據這個第m位找到第一個只出現一次的數字。然後剩下兩個就是問題2所描述的問題。下面給出程式碼：
#include<stdio.h>
int get_first_bit(int num)
{
return num&~(num-1);
}
void get_two_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2)
{
int result_code=0;
for(int i=0;i<n;i++)
result_code^=a[i];
int diff=get_first_bit(result_code);
*num1=0;
*num2=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(a[i]&diff)
{
(*num1)^=a[i];
}
else
{
(*num2)^=a[i];
}
}
}
void get_three_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2,int *num3)
{
int result_code=0;
for(int i=0;i<n;i++)
result_code^=a[i];
int flag=0;
for(i=0;i<n;i++)
flag^=get_first_bit(result_code^a[i]);
flag=get_first_bit(flag);
*num1=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(get_first_bit(result_code^a[i])==flag)
{
(*num1)^=a[i];
}
}
for(i=0;i<n;i++)
{
if(a[i]==(*num1))
{
int temp=a[i];
a[i]=a[n-1];
a[n-1]=temp;
break;
}
}
get_two_unique_num(a,n-1,num2,num3);
}
void main()
{
int a[]={2,2,4,4,6,6,3,5,7};
int num1,num2,num3;
get_three_unique_num(a,sizeof(a)/sizeof(int),&num1,&num2,&num3);
printf("%d\t%d\t%d\n",num1,num2,num3);
}再看一個例子：
1、一個整型有序陣列，數組裡除了一個數字之外，其它的數字都出現了兩次，求這個只出現一次的數
法一：運用hashMap的方法
思路：這個可以可以使用一個Map，Map對應的鍵值key就是陣列中的元素，value就是這個元素出現的次數。這樣我
通過一次遍歷陣列中的元素，如果元素出現在map中，則將其對應的value加1，否則將元素新增到map中，這樣遍歷一遍陣列，我們就可以得到陣列中每個元素對應出現的次數，然後再通過遍歷一遍map，返回value為1對應的key就是我們需要求得元素。
時間複雜度：因為首先需要遍歷一遍陣列，時間開銷為O(n)，構建完map後需要遍歷一遍map找到value為1的元素，而map的個數為n/2，時間開銷為O(n/2)，所以總的時間開銷為O(n)。
空間複雜度：因為需要建立一個map，而且最後map的大小為n/2，所以空間複雜度為O(n)
public static void findNumsAppearOnce1(int[] arr) {
//Map對應的鍵值key就是陣列中的元素，value就是這個元素出現的次數
Map<Integer, Integer> hashMap = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int i : arr) {
if (hashMap.containsKey(i)) {
hashMap.put(i, hashMap.get(i) + 1); //如果存在，value值加1
} else {
hashMap.put(i, 1); //如果不存在，存入hashMap,value值等於1
}
}
//遍歷一遍map，返回value為1對應的key就是我們需要求得元素
Set<Integer> set = hashMap.keySet();
for (int i : set) {
if (hashMap.get(i) == 1) {
System.out.print(i+" ");
}
}
}法二：運用異或運算子的方法
時間複雜度：O(n)
public static void findNumAppearOnce(int[] arr) {
int result = 0;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
result ^= arr[i];
}
System.out.println(result);法三：二分查詢法
時間複雜度：O(NlogN)
public static int method(int[] arr) {
int start = 0; //定義變數，記錄最小的索引
int end = arr.length - 1; //定義變數，記錄最大的索引
int mid = (start + end) / 2; //定義變數，記錄中間的索引
while ((arr[mid] == arr[mid - 1]) || (arr[mid] == arr[mid + 1])) {
if ((arr[mid] != arr[mid - 1]) && (arr[mid] != arr[mid + 1])) {//與兩邊的數不等，break
break;
} else if (arr[mid] == arr[mid + 1]) { //中間值與右邊的值相等
if ((arr.length - 1 - mid + 1) % 2 == 0) { //加上mid對應的數後，右邊字陣列的數為偶數
mid = 0 + (mid - 1) / 2;
} else {
mid = (mid + (arr.length - 1)) / 2;
}
} else { //中間值與左邊的值相等
if ((mid + 1) % 2 == 0) { //加上mid對應的數後，左邊字陣列的數為偶數
mid = ((mid + 1) + (arr.length - 1)) / 2;
} else {
mid = (0 + mid) / 2;
}
}
//判斷,到陣列的兩端了，也break
if (mid == 0 || mid == arr.length - 1) {
break;
}
}
return mid; //如果陣列中有這個元素，則返回
}：一個數組裡除了一個數字之外，其他的數字都出現了兩次。請寫程式找出這個只出現一次的數字。
這個題目的突破口在哪裡？題目為什麼要強調有一個數字出現一次，其他的出現兩次？我們想到了異或運算的性質：任何一個數字異或它自己都等於0 。也就是說，如果我們從頭到尾依次異或陣列中的每一個數字，那麼最終的結果剛好是那個只出現一次的數字，因為那些出現兩次的數字全部在異或中抵消掉了。
有了上面簡單問題的解決方案之後，我們回到原始的問題。如果能夠把原陣列分為兩個子陣列。在每個子陣列中，包含一個只出現一次的數字，而其它數字都出現兩次。如果能夠這樣拆分原陣列，按照前面的辦法就是分別求出這兩個只出現一次的數字了。
我們還是從頭到尾依次異或陣列中的每一個數字，那麼最終得到的結果就是兩個只出現一次的數字的異或結果。因為其它數字都出現了兩次，在異或中全部抵消掉了。由於這兩個數字肯定不一樣，那麼這個異或結果肯定不為0 ，也就是說在這個結果數字的二進位制表示中至少就有一位為1 。我們在結果數字中找到第一個為1 的位的位置，記為第N 位。現在我們以第N 位是不是1 為標準把原陣列中的數字分成兩個子陣列，第一個子陣列中每個數字的第N 位都為1 ，而第二個子陣列的每個數字的第N 位都為0 。
現在我們已經把原陣列分成了兩個子陣列，每個子陣列都包含一個只出現一次的數字，而其它數字都出現了兩次。因此到此為止，所有的問題我們都已經解決。