檢測 影象中得直線
Radon 變換
介紹
影象投影，就是說將影象在某一方向上做線性積分（或理解為累加求和）。如果將影象看成二維函式f(x, y)，則其投影就是在特定方向上的線性積分，比如f(x, y)在垂直方向上的線性積分就是其在x軸上的投影；f(x, y)在水平方向上的線積分就是其在y軸上的投影。通過這些投影，可以獲取影象在指定方向上的突出特性，這在影象模式識別等處理中可能會用到。
Radon變換（拉東變換），就是將數字影象矩陣在某一指定角度射線方向上做投影變換。這就是說可以沿著任意角度theta來做Radon變換。
如圖所示：在直角座標系中，f(x,y)為線l上的點，P為座標原點到線l上的距離，表示線l法線方向的夾角，因此直線方程可以表示為：
l線上的Radon變換的公式是：
另：Delta函式（狄拉克函式）為一個廣義函式，沒有具體定義，該函式在非零的點取值均為0，而在整個定義域的積分為1，這裡寫一個最簡單的Delta函式，便於理解：
結合直線方程，則Delta函式可以表示為：
Radon變換可以寫為
Radon變換可以理解為影象在空間的投影，
空間上的每一點對應(x,y)空間中的一條直線。
Radon變換可以用於直線檢測，比Hough變換優越的地方在於：Radon變換可以針對非二值影象，Radon變換檢測直線：當灰度值高的線段會在P 空間中形成亮點，而低灰度值的直線會在P 空間中形成暗點，而Hough變換需要針對二值影象進行，僅僅積攢非0點在某一個上的個數。
Radon變換的積分運算環節抵消了噪聲所引起的亮度起伏，從直線檢測方面看，Radon變換P 空間較源影象空間域的SNR高，因此Radon變換被用於低SNR影象線檢測的原因。
理解
Radon變換的本質是將原來的函式做了一個空間轉換，即，將原來的XY平面內的點對映到AB平面上，那麼原來在XY平面上的一條直線的所有的點在AB平面上都位於同一點。記錄AB平面上的點的積累厚度，便可知XY平面上的線的存在性。這便是大家所公認的Radon變換的實質所在。
上述聽起來很在理也很簡單，但卻少了直觀性。那麼，詳細的數學理論是什麼呢?請看下文：
如果我們將影象中心設為原點，用\rho（直線到原點的距離）和\theta（某一特定方向）代替a、b，即，理解為影象在空間的投影，如圖-1所示，用引數表示上述直線，則有：
假定有一個函式f(x,y)，如圖-2所示，那麼該函式過直線L區域的積分即為：
其中ds是該直線的微分。
上述關於x，y的積分是很容易求解的，其中一種求解技巧是藉助Delta函式，上述積分可以寫為：
另：Delta函式（狄拉克函式）為一個廣義函式，沒有具體定義，該函式在非零的點取值均為0，而在整個定義域的積分為1，這裡寫一個最簡單的Delta函式，便於理解：
因而，給定一組\rho \theta那麼就可以得出一個沿L(\rho,\theta)的積分值。因此，Radon變換就是函式f (x,y)的線積分，如圖-3所示。
假如有很多平行於L的線，他們有相同的\theta，徑向座標\rho卻不同，這就很好的印證了matlab自帶的radon變換命令中每個\theta角度的Radon變換結果是有兩個輸出項R（特定角度下的Radon變換值也即線積分值）與xp，一一對應（xp可預設）。我們對每一條這樣的平行線都做f(x,y)的線積分，會產生很多投影線，如圖-4所示。也就是說對一幅影象在某一特定角度下的Radon變換會產生N個線積分值（Radon變換），而每一個線積分值會對應一個徑向座標xp，如圖-5所示。各個角度的Radon變換值彙總在一起就構成一幅Radon變化圖。
Radon變換將原影象空間中的直線對映為\rho \theta 空間中的點（線積分值），影象中高灰度值的直線會在\rho \theta空間形成亮點，而低灰度值的線段在\rho \theta空間形成暗點。因而，對直線的檢測可轉化為在變換區域對亮點、暗點的檢測，另外，Radon變換的逆變換常用於醫學CT斷層成像影象的重建。
下面給出我個人的幾個簡單的Radon變換與其重構matlab實驗結果：
另外：我實驗的影象是長方形的，發現重構的結果內容顯示並不全，研究了matlab內建的radon逆變換之後，稍微做了顯示更改這才顯示完全。
霍夫（hough）變換
理論分析
Hough變換的方法基本思想可以從檢測影象中的直線這個簡單問題中看到。直線由兩點A=(X1,Y1)和B=(X2,Y2)定義，所下圖1(a)示。通過點A的所有直線由y1=k*x1+q表示，k和q是某些值。這意味著同一個方程可以解釋為引數空間k,q的方程。因此通過點A的所須直線可以表示為方程q=-x1*k+y1圖1.(b)。類似地通過點B的直線可以表示q=-x2*k+y2。在引數空間k和q中，兩條直線的唯一公共點是在原影象空間中表示連線點A和B的唯一存在的直線。
這意味著影象中的每條直線在引數空k,q中由單獨一個點表示，直線的任何一部分都變換為同一個點。直線檢測的主要思想是確定圖中所在的直線畫素，將通過這些畫素的所在直線變換到引數空間的對應點，在引數空間檢測點（a,b),此點是影象中出現的直線y=ax+b的Hough變換的結果。
影象中所有可能的直線畫素的檢測，可以通過在影象中進行邊緣檢測子得到，所有邊緣幅值超過某個閾值的畫素都可以看作是可能的直線畫素。在最一般的情況下，當我們沒有任何有關影象中的直線資訊，因此，所有方向的直線可能通過任何邊緣畫素。而在現在實現中，這些直線的數目是無限的，然而，為了實際目標，只能有限數目的直線方向。直線的可能方向定義了引數K的一個離散化，因此引數q也被取樣為有限數目的值。所以引數空間不是連續的，而是被表示為矩形單元，稱之為累計陣列(accumulator array) A,它的元素是累計單元(Accumulator cells) A(k,q). 對於每個邊緣元素，確定其引數k和q。這些引數表示了通過此畫素的允許方向的直線。對於每條這樣的直線，直線引數k和q的值用來增加累計單元A(k,q)的值。如果公式y=ax+b所表示的直線出現在影象中，A(a,b)的值會被增加很多次，而次數等於直線y=ax+b作為可能通過某個邊緣畫素的直線被檢測到的數目。
對於任意畫素P，通過它的直線可能是任何的方向k,但是第二個引數q受畫素P影象座標和方向k所約束。因此，存在於影象中的直線會引起影象中適合的累計單元值變大，而通近邊緣畫素的其他直線，它們不對應於影象中存在的直線，對於每個邊緣畫素具有不同的引數k和q，所以對應的累計單元極少被增加。即：影象中存在的直線可以作為累計陣列中的高值累計單元被檢測出業，檢測到的直線引數由累計陣列的座標給出，結果是影象中直線的檢測被為累計空間中的區域性極值的檢測。
我們可以注意到直線的引數方程y =kx+q只適合解釋Hough變換原理，在檢測垂直線條和引數的非線性離散化時會遇到困難。如果直線表示成s=xcosθ+ysinθ。Hough變換就沒有這些侷限性。直線還是被變換為單個點，因此可用該原理進行直線檢測。如下圖2所示：
我們要注意到Hough變換的重要性質是對影象中直線的殘缺部分、噪聲以及其它共存的非直線結構不敏感。因為從影象空間到累計空間的變換的Robuestness引起的，直線殘缺的部分只會造成較低的區域性極值。
https://blog.csdn.net/sinat_26681907/article/details/52277598