1.01揹包問題

1.樸素的二維陣列解法

dp[i][j]表示前i件物品裝入容量是j的揹包所能獲得的最大價值

狀態轉移方程是dp[i][j]=（1）dp[i-1][j](在第i件物品裝不下的情況下)

（2）max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])(裝的下的情況下，裝和不裝都試一下)

#include<iostream>
using namespace std;
int n,w[100],v[100],dp[100][10000],ww;//w表示重量，v表示價值
void solve()
{
    int i,j;
    cin>>n>>ww;//
 
ww是揹包容量 
    for(i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];//輸入n個物品的重量 
    for(i=1;i<=n;i++)cin>>v[i];//輸入n個物品的價值
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=ww;j++)
        {
            if(j<w[i])dp[i][j]=dp[i][j-1];//如果放不下的話就不放 
            else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);//放的下的話，選放和不放的最大值 
 

        } 
    cout<<dp[n][ww]<<endl;//n個物品，容量是ww的揹包能裝下的最大價值 
}
int main()
{
    solve();
}

2.滾動陣列的解法

滾動陣列的解法時間複雜度沒有變化，都是O(n*ww)，但是減少了空間複雜度

狀態轉移方程：dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])(max裡的dp[j]表示前i-1件物品裝入容量j的揹包獲得的最大價值)

#include<iostream>
using namespace std;
 
int ww,n,w[100],v[100],dp[10000];//n個物品，揹包容量ww
void solve()
{
    int i,j;
    cin>>n>>ww;
    for(i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
    for(i=1;i<=n;i++)cin>>v[i];
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=ww;j>=w[i];j--)//這種情況下一定裝的下(裝不下的情況就是dp[j]=dp[j]所以不加if判斷)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    cout<<dp[ww]<<endl;
}
int main()
{
    solve();
}

3.揹包容量可能特別大的情況