漢諾塔是很簡單也很經典的演算法之一。
漢諾塔是根據一個傳說形成的數學問題：
有三根杆子A，B，C 。A杆上有N個(N>1)穿孔圓盤，盤的尺寸由下到上依次變小。要求按下列規則將所有圓盤移至C杆：
* 1 每次只能移動一個圓盤；
* 2 大盤不能疊在小盤上面。

提示：可將圓盤臨時置於B杆，也可以將A杆移除的圓盤重新移動回A杆，但都必須遵循上述兩條規則。
問：如何移？最少要移動多少次？

傳說

最早發明這個問題的人是法國數學家愛德華*盧卡斯。
傳說印度某間寺院有三根柱子，上串64個金盤。寺院裡的僧侶依照一個古老的預言，以上述規則移動這些盤子；預言說當這些盤子移動完畢，世界就會滅亡。這個傳說叫做

梵天寺之塔問題(Tower of Brahma puzzle)。但不知道是盧卡斯自創的這個傳說，還是他受他人啟發。
若傳說屬實，僧侶們需要2⁶⁴− 1步才能完成這個任務；若他們每秒可完成一個盤子的移動，就需要5849億年才能完成。整個宇宙現在也不過137億年。
這個傳說有若干變體：寺院換成修道院、僧侶換成修士等等。寺院的地點眾說紛紜，其中一說是位於越南的河內，所以被命名為“河內塔”。另外亦有“金盤是創世時所造”、“僧侶們每天移動一盤”之類的背景設定。
佛教中確實有“浮屠”（塔）這種建築；有些浮屠亦遵守上述規則而建。“河內塔”一名可能是由中南半島在殖民時期傳入歐洲的。

解答

如取N=64，最少需移動2⁶⁴

− 1次。即如果一秒鐘能移動一塊圓盤，仍將需5849.42億年。目前按照宇宙大爆炸理論的推測，宇宙的年齡僅為137億年。
在真實玩具中，一般N=8；最少需移動255次。如果N=10，最少需移動1023次。如果N=15，最少需移動32767次；這就是說，如果一個人從3歲到99歲，每天移動一塊圓盤，他最多僅能移動15塊。如果N=20，最少需移動1048575次，即超過了一百萬次。

解法

解法的基本思想是遞迴。假設有A、B、C 三個塔，A塔有N塊盤，目標是把這些盤全部移動到C塔。那麼先把塔頂部的N-1塊盤移動到B塔，再把A塔剩下的大盤移動到C，最後把B塔的N-1塊盤移動到C。
每次移動多於一塊盤時，則再次使用上述演算法來移動。

怎麼來理解呢？
我們可以倒著理解，要將A塔上的所有圓盤移動到C塔，且所有圓盤是下大上小。那麼必定有一個過程是最大的圓盤（也就是第N個圓盤）從A移動到C。那麼必須保證上面的N-1個圓盤全在B塔，且圓盤滿足上面小，下面大。當第N個圓盤從A移動到C之後，又得把N-1個圓盤從B塔移動到C塔，這樣工作就完成了。
但是怎麼把A塔上的N-1個圓盤移動到B塔呢？
這裡需要一點想象力，可以想象成只有N-1個圓盤，從A塔移動到B塔（此時的B塔其實就相當於上面的C塔），我們稱A塔為A1塔，B塔為C1塔，C塔為B1塔，那麼問題就變成了如何將N-1個盤從A1塔移動到C1塔？
同樣的需要將上面的N-2個圓盤從A1塔移動到B1塔，然後將第N-1個圓盤從A1塔移動到C1塔，然後再將B1塔上的N-2個圓盤移動到C1塔。
同理，遞推第N-2個塔…..。

將 B塔上的 N-1個盤，移動到C塔的過程與上面原理一樣。

遞迴解

以Objective-C語言實現：

- (void)viewDidLoad {
    [super viewDidLoad];
    // Do any additional setup after loading the view from its nib.
    int n = 9;
    [self hannoi:n from:@"A" buffer:@"B" to:@"C"];
    NSLog(@"一共 %d 步",count);
}

- (void)hannoi:(int)n from:(NSString *)from buffer:(NSString *)buffer to:(NSString *)to
{
    if (n == 1) {
        NSLog(@"Move disk %d from %@ to %@", n, from, to);
    } else {
        [self hannoi:n-1 from:from buffer:to to:buffer];
        NSLog(@"Move disk %d from %@ to %@", n, from, to);
        [self hannoi:n-1 from:buffer buffer:from to:to];
    }
}

console : 一共 511 步

以C++語言實現：

using namespace std;
#include <iostream>
#include <cstdio>

void hannoi (int n, char from, char buffer, char to)
{
    if (n == 1) {
        cout << "Move disk " << n << " from " << from << " to " << to << endl;
    } else {
        hannoi (n-1, from, to, buffer);
        cout << "Move disk " << n << " from " << from << " to " << to << endl;
        hannoi (n-1, buffer, from, to);
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    hannoi (n, 'A', 'B', 'C');
    return 0;
}

通過以上遞迴過程可知hannoi(n) = 2 * hannoi(n-1) + 1 ，hannoi(n) = 2^n-1 + 2^n-2 + 2^n-3+ …… + 2² + 2 +1。
對等比數列求和得出hannoi(n) = 2ⁿ -1。