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統計分佈

抽樣

置信區間

標準誤

StatQuest（https://statquest.org/)是一個非常好的生物統計學課程，課程簡單明瞭，幾乎涵蓋了目前生信所用到的全部統計學知識，作者不會過於使用複雜難明的式子，清晰簡單的解釋出複雜的統計學術語，非常適合統計學新手由淺入深地瞭解生信工具的內在統計學原理。

But I wanted them to understand that what I do isn’t magic – it’s actually quite simple. It only seems hard because it’s all wrapped up in confusing terminology and typically communicated using equations.

—— Josh Starmer (author of StatQuest)

本週開始，我將和大家一起學習分享StatQuest課程。

作者的所有課程都上傳在YouTube上，有上網條件的可以去學習，課程列表在https://statquest.org/video-index/，整個課程體系是比較完備的，不過我會從中挑選部分內容來進行學習分享。

一.統計分佈

首先從一個場景開始，假設你在參加一個Party，無意中聽到有人在討論統計學，並且正好討論到了統計分佈，那麼什麼是統計分佈呢？（作者舉的這個話題引入的例子看起來真的很直接，這是得多喜歡統計學，連party都不放過）

假設我們在統計測量Party上參會人的身高，身高分別是5.2，5.8，5.6，5.9，5.1，6.3，...（英尺），那麼你可以將他們逐個表示到一個圖形上，如下圖，每個紅球代表一個身高資料，下面的藍框代表身高的範圍。

這樣的長條組合在一起時可以叫做直方圖，可以看到大部分人的身高在5-6英尺。

如果將藍框的範圍減小，那麼可以看到這個直方圖會變得更加平滑和精確，大部分人的身高集中在5.25-5.75之間。

如果繼續增加身高資料和降低藍框的範圍，那麼就可以得到下面的直方圖：

同時，我們還可以在這個直方圖上畫一條平滑曲線，來代表這種資料趨勢（大部分人的身高在5-6之間，少部分在5以下和6以上）。

這個平滑曲線還有很多優點，直方圖右側是有一個空缺的，導致無法知道身高在此區間的概率是多少，但是平滑曲線是可以給出這個答案的，而且它不會受到直方圖的分段大小（圖一中的藍框）的影響。

再比如在我們沒有足夠的財力和精力去測定全部總體資料時，一個基於平均數和標準差的平滑曲線

圖中的直方圖和平滑曲線就是統計分佈，它可以告訴我們測量值的概率是怎麼分佈的，主要集中在哪些範圍，哪些資料出現的概率很低。

除了這個例子中的分佈外，還有很多其他分佈，他們的資料趨勢都可以幫我們理解大量的自然資料。

二. 抽樣

絕大部分情況下，從一個特定的分佈中抽樣，其實就是我們利用計算機生成一個隨機數，且這個隨機數得抽取滿足直方圖或平滑曲線描述的資料趨勢，以上圖的趨勢圖為例，越靠近中間的數值越容易被抽到，而越偏離中間的數值越不容易被抽到。

進一步的，我們將可以抽樣得到的樣本進行t檢驗，就可以探索這其中發生了什麼：

假設下圖的一個分佈，隨機取了兩個樣本，每個樣本3個數值，由於兩個樣本服從同一分佈，因此它們都更傾向於取值在中間區域（如圖），因此t檢驗也會給出較大的p值（p值就是可能性，p越大代表可能性越大，此處就代表兩者來自於同一分佈的可能性越大）：

但是如果兩個樣本來自於兩個不同的分佈，那麼由於它們兩個的中間區域不一樣，因此t檢驗就會傾向於給出較小的p值：

三.置信區間

想直觀瞭解置信區間是什麼，要先從bootstrap談起：

假定我們要估計一群雌性小鼠的體重，抽樣12個小鼠，稱重，計算均值如下圖。

然後我們就可以使用bootstrap方法，得出這個樣本的均值的置信區間，如下圖，

• 從這12個樣本資料中隨機抽取12個數據（有放回）；

• 計算這個樣本的均值；

• 重複步驟1、2，直到計算到足夠多的均值（如1000次，10000次等）

一般常用的95%置信區間就是覆蓋了中間95%的均值的區間（如下圖黑線所示），這其實就是置信區間了。

置信區間有什麼用？

95%置信區間代表覆蓋了均值95%的範圍，超出這個範圍的數值的出現次數都是<5%的，因此所有超出95%置信區間的數值的p值都是<0.05，都是顯著的。

假如要比較雌性和雄性小鼠的體重，得到如下的置信區間結果，那麼根據兩者置信區間沒有交界，就可以知道兩者差異顯著。

Bootstrap跟傳統的區間估計是有些相似的，但是更有普適性。

無論總體的分佈是什麼樣，我們知道樣本均值是漸進正態分佈的（假設總體均值存在）。利用漸進分佈我們就可以構造樣本均值的置信區間，但是問題是，要多少樣本量才收斂到漸進分佈呢？

如果總體不是常見分佈，我們很難判斷近似程度。並且，有的時候漸進分佈很難寫出來。Bootstrap就提供了一種靈活的，絕大多數情況都有效的方法，去判斷統計量的是否合適。

標準誤

誤差線作為資料波動和可信度的衡量，是必須的科研繪圖元素。

常見的誤差資料有3種：標準差、標準誤以及置信區間。

• 標準差：Standard Deviations，又叫做標準偏差，大部分情況下圖表中使用的都是標準差；

• 標準誤：Standard Errors，標準誤差，它代表樣本均值的分佈情況；

• 置信區間：Confidence Intervals，和標準誤是相關的。

標準差大家都知道，置信區間上面也說過了，那麼什麼是標準誤呢？

如下圖，假設從一個正態總體中抽樣，共得到3個樣本，每個樣本5個數據，分別用紅、綠、藍色小球表示。

每個樣本都有一個均值和標準差， 如下圖下半部分所示。而對3個平均值繼續求標準差，這個標準差就是均值的標準誤了。當然，如果需要的話，也可以求出標準差的標準誤（下圖3個標準差資料的標準差）、中位數的標準誤等等。

標準誤可以給出抽樣均值的波動程度如何，而不像標準差只是單次抽樣資料的波動，因此它往往更能估計總體均值。

那麼如何計算標準誤呢？

少數情況下，標準誤可以使用特定的公式計算。而任何情況下，你都可以使用bootstrap方法計算標準誤。

此處的bootstrap方法同上面置信區間中的方法相同：

• 如下圖，首先得到一個抽樣樣本，5個紅色小球；

• 隨機抽取一個測量值（紅色小球），並記錄；

• 重複隨機抽取，直到擁有5個測量值（小球是有放回地抽取的）；

• 計算均值（或其他統計量，一般情況下我們更關心均值）；

• 重複上述4步，直到獲得足夠的均值數，如1000個；

• 計算這個1000個數值的標準差即是標準誤。