抽樣分佈

• 特徵函式
• 三大抽樣分佈
• 1. 卡方分佈
• 2. t分佈
• 3. F分佈
• 正態總體下常用統計量的分佈
• 分位數
• 總結

統計量是我們用來對總體X的分佈函式或者是引數進行統計推斷的基礎，因此往往需要獲得統計量 $T(x_1$

, x 2 , x 3 ) T(x_1, x_2, x_3) 的分佈，這也是數理統計的基本問題之一。我們 稱統計量的分佈為抽樣分佈。

特徵函式

在討論抽樣分佈之前，這裡先介紹一個研究隨機變數非常重要的一個工具：特徵函式。它在我們後面對許多定理和性質的證明起著非常重要的性質。

當我們做訊號處理的時候，我們經常將訊號做傅立葉變換來研究訊號的頻域特徵。類似於訊號處理，對隨機變數做傅立葉變換可求得該隨機變數的特徵函式。下面直接給出特徵函式的定義：

定義： 設X是隨機變數，稱函式 $e^{it}$

X e^{itX} 的數學期望 $\varphi_X(t)=E(e^{itX})$為X的特徵函式，通常也稱為X的分佈的特徵函式。
其中， $i=\sqrt{-1}，t\in(-\infty,+\infty)$。

若X是離散型隨機變數，其分佈律為 $p_k=P\{X=x_k\}$，則它的分佈函式為：
$\varphi(t)=E(e^{itX})=\sum_kp_ke^{itx_k}$
若X是連續型隨機變數，其概率密度函式為 $f(x)$，則它的分佈函式為：
$\varphi(t)=E(e^{itX})=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{itx}dx$
下面給出幾個常見分佈的特徵函式：
（1）二項分佈 $B(n, p)$的特徵函式 $\varphi_t=[pe^{it}+(1-p)]^n$
（2）泊松分佈 $P(\lambda)$的特徵函式 $\varphi_t=exp\{\lambda(e_{it}-1\}$
（3）正態分佈 $N(\mu, \sigma^2)$的特徵函式 $exp\{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2\}$

這裡不給出推導的過程，有興趣的讀者可以利用定義式進行推導。常見分佈的特徵函式一般不需要記憶，當需要用到的時候查詢即可，畢竟特徵函式只是一個研究隨機變數的工具。

在介紹特徵函式的用途之前先介紹幾個特徵函式的性質，這些性質在後面推導統計量分佈函式和矩等有著很顯著的作用。

特徵函式的一些重要性質：
（1）有界性，對任意 $t\in(-\infty, +\infty)$，有 $||\varphi(t)||\le\varphi(0)=1$，其中||·||表示復變數的模。
（2）設 $Y=aX+b$，則 $\varphi_Y(t)=e^{ibt}\varphi_X(at)$，其中a,b為常數
（3）若X與Y相互獨立，則X+Y的特徵函式為 $\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)。$可推廣到n個隨機變數的和的特徵函式為 $\varphi_{X_1+X_2+...+X_n}(t)=\varphi_{X_1}(t)\varphi_{X_2}(t)...\varphi_{X_n}(t)$
（4）若X的n階原點矩 $E(X^n)$存在，則X的特徵函式 $\varphi(t)$的n階導數存在，且有
$E(X^k)=i^{-k}\varphi^{(k)}(0)，k=1, 2, ...n$

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