4.1 群的概念

群的定義

給定一個集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元運算$\bullet$，並且滿足以下4個條件：
1. 封閉性
2. 滿足結合律
3. 存在一個單位元素e
4. 對於任意元素a都存在逆元素

稱集合G在運算$\bullet$之下是一個群，也稱G是一個群。元素

子群的定義

設G是群,H是G的子集,若H在G的原來定義的運算下也構成群,則稱H為群G的子群。

群的基本性質

1. 群的單位元是唯一的
2. ab=ac => b=c，ba=ca => b=c
3. G中每一個元素的逆元素是唯一的

4.2 置換群

置換的定義

有限集合S到自身的一一對應（替換）稱為S上的一個置換。

置換群的定義

n個文字有n!個置換，這n!個置換一定構成一個群,稱為n個文字的對稱群,記作Sn;Sn的任一子群稱為置換群;

4.3 迴圈

【定理】任何一個置換都可以表示成若干不相交的迴圈的乘積。

【例】

4.4 貝恩賽德引理

共軛類

【例】

文字k的k不動置換類

設G是1,2,…,n的置換群,當然G是Sn的一個子群,若k是1到n中的某個文字,G中使文字k保持不變的置換全體,叫做G中使k保持不動的置換類,或簡稱k不動置換類,記以Zk 。

【例】

【定理】置換群G中任意文字k的不動置換類Zk一定是G的一個子群。

【例】G={e,(12),(34),(12)(34)}

• 在群G作用下1能變為2,2能變為1,3能變為4,4能變為3.
• 1與2屬於同一類,3和4屬於另一類

等價類：在群G的作用下能夠與文字k相互轉化的文字我們稱為同一類,這樣的類我們稱作是一個等價類，記為Ek 。

【定理】|Ek||Zk|=|G|，k=1,2,…,n

• 例如G={e,(12),(34),(12)(34)}，|G|=4
• 文字1的等價類為：E1={1，2}，|E1|=2
• 使1不動置換類為：Z1={e,(34)}，|Z1|=2

【推論】若文字i,j屬於同一個等價類,則|Zi|=|Zj|

1階迴圈的個數及記法

貝恩塞特(Burnside)引理

【例】

4.5 波利亞定理

• 波利亞Polya定理中的 $\overline G$群是作用在n個物件上的置換群
• 貝恩賽德Burnside定理中的G群是在這n個物件上用m種顏色進行染色後$m^n$n個染色方案集合上的置換群
• 兩個置換群是在同樣的變化下得到的：$|G|=|\overline G|$
• $c_1(a_i)=m^{c(\overline a_i)}$

【例】
=