組合數學第三章複習
3.1 德摩根定理
3.2 容斥定理
3.3 鴿巢定理
鴿巢定理：n個鴿子巢，若有n+1只鴿子在裡面，則必有一個巢裡至少有2只鴿子。
鴿巢定理的推廣：設k和n都是任意的正整數，若至少有kn+1只鴿子分配在n個鴿巢裡，則至少存在一個鴿巢中有不少於k+1只鴿子。
【例】任取11個正整數，求證其中至少有兩個數它們的差是10的倍數。
- 一個數是不是10的倍數取決於這個數的個位數是不是0，是0就是10的倍數
- 一個數的個位數只可能是0,1,…,9十個數，任取11個數，根據鴿巢原理，其中必有兩個數個位數相同
- 那麼這兩個數的差的個位數必然是0。
【例】試證6個人在一起，其中至少存在3個人或互相認識，或互相不認識。
- 等價於證明這6個頂點的完全圖的邊，用紅、藍二色任意著色，必然至少存在一個紅色邊三角形，或者存在一個藍色邊三角形。
- Va點和其他5個頂點相連有5條邊，每條邊或著以紅色，或著以藍色。根據鴿巢原理的推論，其中至少有3條邊同色
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