今天寫的這一篇文章離寫第一篇文章的時間可能有幾天了，並且在這段時間裡也有人向我提出了我錯誤的地方，現已作更改。
今天，我們又做到了一道題目，也是不平等博弈的，聽了講題，我對不平等博弈有了更深的理解。
首先，不平等博弈，或者說是一個遊戲，一直以來我覺得都可以用超實數來做，但今天我發現，其實超實數其實是一種數，這種遊戲的狀態不等價於超實數，就比如*符號，這個就不是超實數，所以這些東西都是超實數的擴充罷了。還有呢，在超實數的運算{X|Y}的定義中有“這兩個集合中的元素也為超實數，且右集合中不存在一個元素 x 使得左集合中存在一個元素 y 滿足 $x \leq y$

”。但事實上在博弈上很容易出現比如說{ 1 | 0 }的情況，這個時候在博弈中仍然是合法的，但是卻不能按一般的運算方法來做了，需要用一些特技來算了。
就比如一道題，有兩個人，一個人每次能拿a個石子，一個人每次能拿b個石子，求多堆的時候的情況
這道題有一個規律，如果有一堆石子有x個，那麼它的狀態等價於x%(a+b)個，可能不會證明，但是能通過打幾個表來找到規律，其中就有{l|r}(l>r)的運算
下面列舉a=2,b=3的情況
f(0)=0 //0顆石子，先手必敗
f(1)=0 //1顆石子，同樣兩個人都不能取，先手必敗
f(2)=1 //第一個人能取，f(2)= { f(0) | $\Phi$ }={ 0 | inf }=1
f(3)=$*$ //兩個人都能取，一個人拿了另一個人就不能拿，所以就是先手必勝，先手必勝有3種情況：$* + ↑$ 、$* + ↓$ 、$*$ ，要怎麼判斷是三個中的哪個呢，由於$↑+↑$是一個第一個人必勝態，$↓+↓$是第一個人必敗態，所以只要把這個石子複製成2堆，若是第一個人必勝，那麼就是$* + ↑$，若是第二個人必勝，那麼就是$* + ↓$，若是先手必敗，那麼就是$*$，兩堆3個的石子，那麼顯然是先手必敗，所以f(3)=$*$，其實很顯然，f(3)={f(1)|f(0)}={0|0}=$*$
f(4)=$* + ↑$ //同f(3)的做法，兩個4堆的石子，是第一個人必勝，所以f(4)=$* + ↑$，同時發現，解決了f(4)={f(2)|f(1)}={1|0}的問題，{1|0}=$* + ↑$
f(5)=0 //這個顯然先手必敗，所以是0，同時f(5)={f(3)|f(2)}={$*$|1},它竟然等於0
f(6)=0 //f(6)={f(4)|f(3)}={$* + ↑$|$*$}，這個分析一下就知道，若第一個玩家先取，那麼第二個玩家贏，若第二個玩家先取，那麼第一個玩家贏，所以f(6)=0
f(7)=1 //f(7)={f(5)|f(4)}={0|$* + ↑$}，分析一下，這是一個先手必勝的狀態，但是它等於幾呢？一臉迷茫，猜一波結論，f(7)=1?證明呢，很簡單，證明f(7)+(-1)=0就好了，也就是第二個人多一步，你可以自己分析一下步數，那就可以發現確實是先手必敗
…其實已經有點迴圈了，後面的證明同理，不再說明
說重點，講一講超實數的加法吧

加法運算

對於超實數 x= { $X_L$ | $X_R$ } 和 y = { $Y_L$ | $Y_R$ } ，它們的加法運算被定義為：
x+y={ $X_L$ | $X_R$ }+{ $Y_L$ | $Y_R$ }={$X_L$+y,x+$Y_L$|$X_R$+y,x+$Y_R$},
對於某個集合X和超實數y，X + y = { x + y : x $\in$ X }
終止條件為$\Phi$ + n = $\Phi$

相反數運算

對於超實數 x= { $X_L$ | $X_R$ } ，x的相反數為：- x = -{ $X_L$ | $X_R$ } = { -$X_R$ | -$X_L$ }，對於集合X，-X={ -x : x $\in$ X }
終止條件為-0=-{ | }={ | }=0

其它定義

還有的定義是x-y=x+(-y)
根據上面三個官方的定義，還可以得到兩個超實數之和還是超實數，並且加法滿足交換律、結合律

證明上面的$↑$ + $↑$是先手必勝態
證明：$↑$ + $↑$ = { 0 | $*$ } + { 0 | $*$ } = { 0 + $↑$ , $↑$ + 0| $*$ + $↑$ , $↑$ + $*$ } = { $↑$ | $*$ + $↑$ }，所以是先手必勝

可能就這些了吧，這些東西差不多可以讓超實數在博弈中得到擴充套件，之後不平等博弈問題會在需要的時候繼續更新新的篇目，記錄（三）到這裡就結束了