禮物 bzoj-4827 Hnoi-2017

題目大意：給定兩個長度為$n$的手環，第一個手環上的$n$個權值為$x_i$，第二個為$y_i$。現在我可以同時將所有的$x_i$同時加上自然數$c$。我也可以將第一個手環任意旋轉。旋轉後每一個$x$對應一個$y$，那麼代價為$\sum\limits_{i=0}^{n-1} (x_i-y_i)^2$。求最小代價。

註釋：$1\le n\le 10^5$，$0\le maxval \le 100$。

想法：

水題啊.....

推推式子，我們假設就加了$c$，那麼總代價為$\sum\limits_{i=0}^{n-1} (x_i-y_i+c)^2$

$\Leftrightarrow \sum\limits_{i=0}^{n-1} ((x_i+c)^2-2y_i\cdot (x_i+c)+y_i^2)$

$\Leftrightarrow \sum\limits_{i=0}^{n-1} (x_i^2+y_i^2)+nc^2+2c\cdot (x_i-y_i)-2\sum\limits_{i=0}^{n-1} x_i\cdot y_i$

我們發現，上述式子分成了三部分：

顯然第一部分是定值。

第二部分的話我們設$sum_x=\sum\limits_{i=0}^{n-1} x_i$，$sum_y=\sum\limits_{i=0}^{n-1} y_i$，那麼如果$sum_x>sum_y$，顯然$c$為0的時候取得最小值，反之用二次函式的對稱軸來判斷最小值即可。

剩下了第三部分：

我們要求對應位相乘的最大值

還沒有旋轉的時候我們發現就是對應位相乘的和。

如果進行了一次旋轉，那麼就相當於$x_1$和$y_{n-1}$配對，剩下的依次對應。

故此我們發現，x序列的開始一段對應乘上$y$的後面一段，$x$剩下的部分對應上$y$開頭剩下的那部分。

我們將$y$翻轉，發現其實每個答案就是兩個卷積的和。

用$FFT$優化然後$O(n)$更新答案即可。

Code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define N 50010 
using namespace std; typedef double db;
const db pi=acos(-1);
inline void Max(int &x,int y) {x=max(x,y);}
inline char nc() {static char *p1,*p2,buf[100000]; return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int rd() {int x=0; char c=nc(); while(!isdigit(c)) c=nc(); while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=nc(); return x;}
struct cp
{
	db x,y;
	cp() {x=y=0;}
	cp(db x_,db y_) {x=x_,y=y_;}
	cp operator + (const cp &a) const {return cp(x+a.x,y+a.y);}
	cp operator - (const cp &a) const {return cp(x-a.x,y-a.y);}
	cp operator * (const cp &a) const {return cp(x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x);}
}a[N<<2],b[N<<2];
void fft(cp *a,int len,int flg)
{
	int i,j,k,t;
	cp tmp,w,wn;
	for(i=k=0;i<len;i++)
	{
		if(i>k) swap(a[i],a[k]);
		for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
	}
	for(k=2;k<=len;k<<=1)
	{
		wn=cp(cos(2*pi*flg/k),sin(2*pi*flg/k));
		t=k>>1;
		for(i=0;i<len;i+=k)
		{
			w=cp(1,0);
			for(j=i;j<i+t;j++)
			{
				tmp=a[j+t]*w;
				a[j+t]=a[j]-tmp;
				a[j]=a[j]+tmp;
				w=w*wn;
			}
		}
	}
	if(flg==-1) for(i=0;i<len;i++) a[i].x/=len;
}
inline int sqr(int x) {return x*x;}
int main()
{
	int ans=0;
	int sum1=0,sum2=0;
	int all1=0,all2=0;
	int n=rd(),m=rd();
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		a[i].x=rd();
		sum1+=a[i].x; all1+=sqr(a[i].x);
	}
	for(int i=n-1;~i;i--)
	{
		b[i].x=rd();
		sum2+=b[i].x; all2+=sqr(b[i].x);
	}
	// printf("%d %d %d %d\n",sum1,sum2,all1,all2);
	int len=1; while(len<(n<<1)) len<<=1;
	fft(a,len,1); fft(b,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*b[i];
	fft(a,len,-1);
	ans=(int)(a[n-1].x+0.1);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		Max(ans,(int)(a[i-1].x+0.1)+(int)(a[n+i-1].x+0.1));
	}
	if(sum1>=sum2) printf("%d\n",all1+all2-2*ans);
	else
	{
		int ANS=all1+all2-2*ans;
		int dlt=(sum1-sum2)*2;
		int x=(-1*dlt)/(2*n);
		ANS+=min(n*sqr(x)+dlt*x,n*sqr(x+1)+dlt*(x+1));
		cout << ANS << endl ;
	}
	return 0;
}

小結：冷靜下來還是非常水的。