Chapter 1. 龐加萊群、單粒子態和時間空間反演
1. 前言
本部分參考了Weinberg的量子場論第一卷第二章的內容。如果具備一些關於群表示論的知識，閱讀Weinberg 的量子場論無疑是一種享受。雖然其它場論教科書的語言通俗易懂（尤其是Shwartz的場論，但Schwartz的書在數學上也十分嚴謹），可以幫助讀者較快地理解物理影象，但是不準確的表達也十分容易引起一些基本概念的混淆，而Weinberg的書將數學和物理完美結合，沒有任何語焉不詳之處，在細節問題上的處理可以看出作者功力之深厚，就像物理學界那句名言所說的，“魔鬼藏在細節中“。
2. 龐加萊代數
龐加萊群即為洛倫茲群\(\Lambda\)和平移群\(a\)的半直積，很類似 Euclid 空間群。群元之間的運算定義為：
\[ T(\bar\Lambda,\bar a)T(\Lambda,a)=T(\bar\Lambda\bar\Lambda,\bar\Lambda a+\bar a). \]
它在希爾伯特空間上的酉表示滿足：
\[ U(\bar\Lambda,\bar a)U(\Lambda,a)=U(\bar\Lambda\Lambda,\bar\Lambda a+\bar a). \]
當然，更嚴格的做法是考慮射影表示，不過在這裡我們只用最通常的表示即可。
接下來分析龐加萊群所具有的一些性質，我們從它的一個子群洛倫茲群入手。洛倫茲群元的行列式為\(1\)或者\(-1\)，\(\Lambda_0^0\ge1\)或者\(\Lambda_0^0\le-1\)。這說明，洛倫茲群有四個分支，不是一個連通群。我們來說明，行列式為\(1\)且\(\Lambda_0^0\ge1\)的分支為它的一個子群。只需要驗證封閉性即可。行列式為正顯然滿足封閉性，我們來證明另一個條件。\(\Lambda_0^0\ge 1, \bar\Lambda_0^0\ge 1\Rightarrow(\bar\Lambda\Lambda)_0^0\ge 1.\)
\[ \begin{equation} (\bar\Lambda\Lambda)_0^0=\bar\Lambda_0^0\Lambda_0^0+\bar\Lambda_1^0\Lambda_0^1+\bar\Lambda_2^0\Lambda_0^2+\bar\Lambda_3^0\Lambda_0^3,\quad |\bar\Lambda_1^0\Lambda_0^1+\bar\Lambda_2^0\Lambda_0^2+\bar\Lambda_3^0\Lambda_0^3| \le\sqrt{(\bar\Lambda_0^0)^2-1}\sqrt{(\Lambda_0^0)^2-1} \end{equation} \]
\[ \Rightarrow(\bar\Lambda\Lambda)_0^0\ge\bar\Lambda_0^0\Lambda_0^0-\sqrt{(\bar\Lambda_0^0)^2-1}\sqrt{(\Lambda_0^0)^2-1}, \]
\[ (\bar\Lambda_0^0\Lambda_0^0-1)^2-((\bar\Lambda_0^0)^2-1)((\Lambda_0^0)^2-1)=(\bar\Lambda_0^0-\Lambda_0^0)^2\ge0, \]
\[ \Rightarrow(\bar\Lambda\Lambda)_0^0\ge\bar\Lambda_0^0\Lambda_0^0-\sqrt{(\bar\Lambda_0^0)^2-1}\sqrt{(\Lambda_0^0)^2-1}\ge1. \quad\square \]
上述子群稱為 proper orthochronous Lorentz group, 從該群出發並結合時間反演、空間反演和這兩個群元的乘積就可以跳到其它三個分支。空間反演矩陣不改變0分量，將其它三個分量取反，時間反演矩陣只將0分量取反。
龐加萊群另外一個性質為非緊群，即群元中的矩陣元的模無上下界，這直接引起了龐加萊群不存在有限維的不可約表示。而熟知的 SO(3) 群因為是正交矩陣，每個矩陣元的模都必須小於1, 於是SO(3)群為緊群，存在有限維的不可約表示，事實上，該群存在任意整數維的不可約表示。
我們在單位元附近將龐加萊群表示進行展開來求其生成元的李代數。
\[ U(1+\omega,\epsilon)=1+\frac{i}{2}\omega_{\rho\sigma}J^{\rho\sigma}-\epsilon_\rho P^\rho+... \]
由 Lorentz group 的性質可知\(\omega_{\rho\sigma}\)為反對稱張量，於是在不影響結果的前提下，我們有\(J^{\rho\sigma}=-J^{\sigma\rho}\).
\[ U(\Lambda,a)U(1+\omega,\epsilon)U^{-1}(\Lambda,a)=U(\Lambda(1+\omega)\Lambda^{-1},\Lambda\epsilon-\Lambda\epsilon\Lambda^{-1}a). \]
反覆利用上述兩式可以得到生成元之間的對易關係即所謂的李代數：
\[ i[J^{\mu\nu},J^{\rho\sigma}]=g^{\nu\rho}J^{\mu\sigma}-g^{\mu\rho}J^{\nu\sigma}-g^{\sigma\mu}J^{\rho\nu}+g^{\sigma\nu}J^{\rho\mu},\quad i[P^\mu,J^{\rho\sigma}]=g^{\mu\rho}P^\sigma-g^{\mu\sigma}P^\rho,\quad [P^\mu,P^\rho]=0. \]
定義四階動量\(P^\mu=\{H,P^1,P^2,P^3\}\), 角動量算符\(\vec{J}=\{J^{23},J^{31},J^{12}\}\), Boost算符\(\vec{K}=\{J^{01},J^{02},J^{03}\}\) ，便可得到熟悉的對易關係。
最後指出幾個子群的表示。
平移群：\(\omega=0\)，生成元只有\(P^\mu\)，並且生成元之間互換對易，於是表示可以直接寫為\(U(1,a)=\exp(-iP^\mu a_\mu)\).
三維旋轉群：\(a=0\)，並且令\(\omega\) 第一行和第一列都為0, 生成元只有\(\vec{J}\)，於是表示可以寫為\(U(R_\theta,0)=\exp(i\vec J\cdot\vec\theta)\).