矩陣論筆記(一) - 線性空間、線性子空間、矩陣的值域和核空間
阿新 • • 發佈:2019-01-06
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1.線性空間
1.1 線性空間的定義
設非空集合 ,一個數域 , , ,如果 滿足加法封閉和數乘封閉,則稱 為線性空間。
- 加法封閉: 加法交換律、加法結合律、零向量、負向量。
- 數乘封閉: 數對元素的分配律、元素對數的分配律、數因子結合律、單位向量。
1.2 線性空間的性質
- 零元素唯一
- 任一元素的負元素唯一
- 設 數
,向量
,有:
- 若 , 則 或
1.3 線性空間的維數
線性空間 中線性無關向量組所含向量最大個數 ,稱為 的維數,記作 。
維線性空間記作 。
1.4 線性空間的基
維線性空間中,任意 個線性無關的向量 ,構成該空間的一組基。這n個線性無關的向量稱作基向量。
空間中任意一個向量
可由這組基唯一表示,即
。
此時,稱
為
在該基下的座標,記為
。
向量
在基
下的矩陣表示為:
1.5 基變換與座標變換
1.5.1 基變換:
設
是 空間
的舊基,
是新基。新基可以用舊基表示為