電腦科學中，除了棧以外，二叉樹也是處理表達式的常用工具，為了處理表達式而遵循相應規則構造的樹被稱為表示式樹。

表示式樹

算數表示式是分層的遞迴結構，一個運算子作用於相應的運算物件，其運算物件又可以是任意複雜的表示式。樹的遞迴結構正好用來表示這種表示式。下面只討論二元表示式。
二元表示式可以很自然的聯絡到二叉樹：以基本運算物件作為葉節點中的資料；以運算子作為非葉節點中的資料，其兩棵子樹是它的運算物件，子樹可以是基本運算物件，也可以是複雜表示式。如圖是一個表示式樹。

字首、中綴和字尾表示式

中綴表示式（中綴記法）
我們平時縮寫的表示式，將運算子寫在兩個運算元中間的表示式，稱作中綴表示式。在中綴表示式中，運算子有不同的優先順序，圓括號用於改變運算順序，這使得運算規則比較複雜，求值過程不能直接從左到右順序進行，不利於計算機處理。

字尾表示式
將運算子寫在兩個運算元之後的表示式稱作字尾表示式。字尾表示式中沒有括號，並且運算子沒有優先順序。字尾表示式的求值過程能夠嚴格按照從左到右的順序進行，有利於計算機處理。

字首表示式
字首表示式是將運算子寫在兩個運算元之前的表示式。和字尾表示式一樣，字首表示式沒有括號，運算子沒有優先順序，能嚴格按照從右到左的順序計算。

另外，算式表示式和表示式樹的關係如下：

• 表示式樹的先根遍歷：字首表示式
• 表示式樹的中根遍歷：中綴表示式
• 表示式樹的後根遍歷：字尾表示式

表示式的轉換

利用表示式樹

給定一個表示式的中綴形式：(4+1*(5-2))-6/3
首先將每個運算加上括號，區分優先順序，得到(4+(1*(5-2)))-(6/3)
括號外的-優先順序最低，作為根節點，(4+(1*(5-2)))作為左子樹，(6/3)作為右子樹；
遞迴的轉換4+(1*(5-2))，+最為根節點，4是左子樹，(1*(5-2))是右子樹。*是右子樹的根節點，1是左子樹，(5-2)是右子樹。最後計算(5-2)，-是根節點，5是左子樹，2是右子樹。得到的表示式樹如文章之初給出的圖。

構造好表示式樹之後，字首表示式和中綴表示式可根據先根遍歷和後根遍歷得到。
字首表示式：- + 4 * 1 - 5 2 / 6 3
字尾表示式：4 1 5 2 - * + 6 3 / -

利用棧

將中綴表示式轉換為字尾表示式
step1：初始化一個棧和一個字尾表示式字串
step2：從左到右依次對中綴表示式中的每個字元進行以下處理，直到表示式結束

• 如果字元是‘（’，將其入棧
• 如果字元是數字，新增到字尾表示式的字串中
• 如果字元是運算子，先將棧頂優先順序不低於該運算子的運算子出棧，新增到字尾表示式中，再將該運算子入棧。注意，當‘（’在棧中時，優先順序最低
• 如果字元是‘）’，將棧頂元素出棧，新增到字尾表示式中，直到出棧的是‘（’
  step3：如果表示式結束，但棧中還有元素，將所有元素出棧，新增到字尾表示式中

例如給定一個表示式的中綴形式：(4+1*(5-2))-6/3，棧中元素和表示式的變化如下表所示：

最後得到字尾表示式為4 1 5 2 - * + 6 3 / -

將中綴表示式轉換為字首表示式
中綴表示式轉換到字首表達的方法和轉換到字尾表示式過程一致，細節上有所變化
step1：初始化兩個棧s1 和s2
step2：從右到左依次對中綴表示式中的每個字元進行以下處理，直到表示式結束

• 如果字元是‘)’，將其入棧
• 如果字元是數字，新增到s2中
• 如果字元是運算子，先將棧頂優先順序不低於該運算子的運算子出棧，新增到s2中，再將該運算子入棧。當‘）’在棧中是，優先順序最低
• 如果字元是‘（’，將棧頂元素出棧，新增到s2中，直到出棧的是‘）’
  step3：如果表示式結束，但棧中還有元素，將所有元素出棧，新增s2中
  step4：將棧s2中元素依次出棧，即得到字首表示式

給定一個表示式的中綴形式：(4+1*(5-2))-6/3，其字首形式為 - + 4 * 1 - 5 2 / 6 3

表示式的計算

中綴表示式的計算我們已經非常清楚，字首和字尾表示式更適合計算機處理
字尾表示式的計算
字尾表示式沒有括號，運算子的順序即為實際運算順序，在求值過程中，當遇到運算子時，只要取得前兩個運算元就可以立即進行計算。當操作數出現時，不能立即求值，需要先儲存等待運算子。對於等待中的運算元而言，後出現的先運算，所以需要一個棧輔助操作。
字尾表示式的運算過程如下：
step1：設定一個棧
step2：從左到右對字尾表示式中的字元進行以下處理：
- 如果字元是數字，現將其轉化為數字，然後入棧
- 如果字元是運算子，出棧兩個值進行計算。計算結果入棧
- 重複以上步驟，直到字尾表示式掃描結束，棧中最後一個元素就是表示式的結果。

給定字尾表示式4 1 5 2 - * + 6 3 / -，依次將4 1 5 2 入棧，當掃描到-時，2,5出棧，計算5-2=3；將3入棧，此時棧中元素為4 1 3。接著掃描到*，3 1出棧，計算1*3=3,3入棧，棧中元素為4 3,。掃描+，3 4出棧，計算4+3=7,7入棧。接著6 3 入棧，棧中該元素為7 6 3，掃描到/，3 6出棧，計算6/3=2,2入棧，棧中元素為7 2.掃描-，2 7 出棧，計算7-2=5,5入棧。表示式掃描完畢，棧中元素為5，表示式結果為5.
字首表示式的計算
字首表示式的計算掃描順序從右到左，其他和字尾表示式的計算完全一致。

以上內容轉載自二叉樹的簡單應用–表示式樹，略加修改，給此文博主一個大大的贊，良心好文！！！本文以下內容為我對於這篇博文的一個補充。

表示式樹程式碼實現

如何給一個表示式建立表示式樹呢？方法有很多，這裡只介紹一種：找到"最後計算"的運算子(它是整棵表示式樹的根)，然後遞迴處理(這也是前文介紹的方法)。下面是程式：

const int maxn = 1000;
int lch[maxn], rch[maxn]; char op[maxn];
int nc = 0;		//結點數
int build_tree(char* s, int x, int y)
{
	int i, cl = -1, c2 = -1, p = 0;
	int u;
	if(y-x == 1)		//僅一個字元，建立單獨結點
	{
		u = ++nc;
		lch[u] = rch[u] = 0; op[u] = s[x];
		return u;
	}
	for(i = x; i < y; i++)
	{
		switch(s[i])
		{
			case '(': p++; break;
			case ')': p--; break;
			case '+': case '-': if(!p) c1 = i; break;
			case '*': case '/': if(!p) c2 = i; break;
		}
	}
	if(c1 < 0) c1 = c2;		//找不到括號外的加減號，就用乘除號
	if(c1 < 0) return build_tree(s, x+1, y-1);		//整個表示式被一對括號括起來
	u = ++nc;
	lch[u] = build_tree(s, x, c1);
	rch[u] = build_tree(s, c1+1, y);
	op[u] = s[c1];
	return u;
}

注意上述程式碼是如何尋找“最後一個運算子”的。程式碼裡用了一個變數p，只有當p=0時才考慮這個運算子。為什麼呢？因為括號裡的運算子一定不是最後計算的，應當忽略。例如(a+b)*c中雖然有一個加號，但卻是在括號裡的，實際上比它優先順序高的乘號才是最後計算的。由於加減和乘除號都是左結合的，最後一個運算子才是最後計算的，所以用兩個變數c1和c2分別記錄“最右”出現的加減號和乘除號。
再接下來的程式碼就不難理解了：如果括號外有加減號，它們肯定最後計算；但如果沒有加減號，就需要考慮乘除號( if(c1<0) c1 = c2 )；如果全都沒有，說明整個表示式外面被一對括號括起來，把它去掉後遞迴呼叫。這樣，就找到了最後計算的運算子s[c1]，它的左子樹是區間[x, c1]，右子樹是區間[c1+1, y]。
提示：建立表示式樹的一種方法是每次找到最後的運算子，然後遞迴建樹。“最後計算”的運算子是在括號外的、優先順序最低的運算子。如果有多個，根據結合性來選擇：左結合的(如加減乘除)選最右邊；右結合的(如乘方)選最左邊。根據規定，優先順序相同的運算子的結合性總是相同。

字尾表示式計算程式碼實現

這個程式碼十分簡單，只要將演算法直譯過來即是程式碼，博主比較懶，就將這個工作交給讀者了，如果學校裡後面有這個作業，博主會貼上程式碼。。

拓展：由淺入深表達式樹（一）建立表示式樹