【機器人學】使用代數法求解3自由度擬人機械臂的逆運動學解

這篇部落格會討論一下使用解析法求解3自由度擬人機械臂的逆解及分析。

一、機械臂的逆解

機械臂的逆運動學問題就是由給定的末端執行器位置和方向，確定機械臂各個關節變數的值。機械臂的求解方法可以分為兩大類：數值解和解析解（封閉解），解析解又可分為代數解和幾何解。
數值解和解析解有各自的特點，商用的機械臂一般都會採用解析解，因為求解速度快且準確，而不會採用本質迭代的數值解法。

二、擬人機械臂+球形手腕

如果大家注意到的話，可以發現，市面上的6軸機械臂的構型都是相似的，大都是擬人臂+球形手腕的構型，因為這樣的構型可以把球形腕的求逆解耦出來。

三、3自由度擬人機械臂的求解

這篇部落格的內容都出自於《機器人學：建模，規劃和控制》這本教材，有興趣的同學可以找到這本書看一下。本文只討論一下3自由度擬人機械臂的逆運動學，

以後有時間會總結一下6軸工業機械臂的求逆解問題。
很多機器人學教材上關於機械臂的逆解都是羅列一堆公式，對其中的推導過程並沒有講述很清楚，再加上中文版本的機器人學教材錯誤百出，很多同學看得一頭霧水，對求解推導過程中使用的數學原理沒有深入體會，導致對機械臂的求逆解問題一直處於一種似懂非懂的狀態。最重要的是，我認為只有使用程式碼實現對機械臂求逆解，才算是初步達到了學習機器人學的目的。
3軸機械臂的構型和DH引數如下圖所示，使用DH方法進行運動學建模，建立的座標系如下圖所示。

建立直角座標系後，機械臂末端的位置，也就是座標系3原點的位置可表示為：

px=c1(a2c2+a3c23)py=s1(a2c2+a3c23)pz=a2s2+a3s23 $\begin{align} & {{p}_{x}}={{c}_{1}}\left( {{a}_{2}}{{c}_{2}}+{{a}_{3}}{{c}_{23}} \right) \\ & {{p}_{y}}={{s}_{1}}\left( {{a}_{2}}{{c}_{2}}+{{a}_{3}}{{c}_{23}} \right) \\ & pz={{a}_{2}}{{s}_{2}}+{{a}_{3}}{{s}_{23}}\\ \end{align}$
已知

px ${{p}_{x}}$ ，

py ${{p}_{y}}$ ，

pz ${{p}_{z}}$ 3個已知量，求解3個未知量關節角度

ϑ1 ${{\vartheta }_{1}}$ ，

ϑ2 ${{\vartheta }_{2}}$ ，

ϑ3 ${{\vartheta }_{3}}$ 。 從代數的角度來看，由於限定關節角度的範圍為 $\left[ -\pi ,\pi \right]$ ，故會有多解，從幾何角度來看，就是如下圖所示的多解情形。

這裡寫圖片描述

求解的過程是從關節3

→ $\to$ 關節2

→ $\to$ 關節1。 首先求解關節3的解：
由

(1)2+(2)2+(3)2 ${{(1)}^{2}}+{{(2)}^{2}}+{{(3)}^{2}}$ 可得

c3=px2+py2+pz2−a22−a322a2a3 ${{c}_{3}}=\frac{{{p}_{x}}^{2}+{{p}_{y}}^{2}+{{p}_{z}}^{2}-{{a}_{2}}^{2}-{{a}_{3}}^{2}}{2{{a}_{2}}{{a}_{3}}}$
那麼

s3=±1−c32−−−−−−√ ${{s}_{3}}=\pm \sqrt{1-{{c}_{3}}^{2}}$ 。
故

ϑ3,I=atan2（s3，c3） ${{\vartheta }_{3,I}}=atan2（s3，c3）$ ，使用

atan2() $atan2()$ 函式是為了得到範圍在

[−π,π] $\left[ -\pi ,\pi \right]$ 的關節角度。根據

s3 ${{s}_{3}}$ 的符號和

atan2() $atan2()$ 的性質，可知關節3的第二個解是

ϑ3,II=atan2（−s3，c3）=−atan2(s3,c3)=−ϑ3,I ${{\vartheta }_{3,II}}=atan2（-s3，c3）=-atan2(s3,c3)=-{\vartheta }_{3,I}$ 。 到此，關節3的兩個解就得出來了。
接下來求關節2的解：
由

(1)2+(2)2 ${{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( 2 \right)}^{2}}$ 可以消掉

s1 $s_1$ 和

c1 $c_1$ ，再結合

(3) $(3)$ ，這兩個方程含

c2 $c_2$ 和

s2 $s_2$ 兩個未知數，可求得

c2=±px2+py2−−−−−−−√(a2+a3c3)+pza3s

【機器人學】使用代數法求解3自由度擬人機械臂的逆運動學解

一、機械臂的逆解

二、擬人機械臂+球形手腕

三、3自由度擬人機械臂的求解

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二、擬人機械臂+球形手腕

三、3自由度擬人機械臂的求解

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