問題：

據說著名猶太曆史學家 Josephus 有過以下的故事：
在羅馬人佔領橋塔帕特後，39個猶太人與 Josephus 及他的朋友躲到一個洞中，
39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到，於是決定了一個自殺方式，41個人排成一個圓圈，
由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下一個重新報數，
直到所有人都自殺身亡為止。然而 Josephus 和他的朋友並不想自殺，
問他倆安排的哪兩個位置可以逃過這場死亡遊戲？

解答：

模擬推導：

使用collections模組deque進行模擬：

import collections
def ysf(a, b)
 
:
    d = collections.deque(range(1, a+1)) # 將每個人依次編號，放入到佇列中
    while d:
        d.rotate(-b) # 佇列向左旋轉b步
        print(d.pop()) # 將最右邊的刪除，即自殺的人

if __name__ == '__main__':
    ysf(41,3) # 輸出的是自殺的順序。最後兩個是16和31，說明這兩個位置可以保證他倆的安全。

數學推導：

n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）: k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2，並且從k開始報0。
假設x是最終的勝利者，逆推的話容易得到 x’=(x+k)%n ，可以以此逆推到最開始的位置。

# 遞迴直接求出
def ysf(m,k):   
    if m == 1:
        return 0
    else:
        return (ysf(m-1, k) +k) % m
    
ysf(41, 3) + 1

# 遍歷求出結果
def ysf(m, k):
    s = 0
    for i in range(2, m+1):
        s = (s + k) % i
    return s

ysf(41, 3) + 1