【BZOJ5093】圖的價值
阿新 • • 發佈:2018-11-26
題面
Description
“簡單無向圖”是指無重邊、無自環的無向圖(不一定連通)。
一個帶標號的圖的價值定義為每個點度數的k次方的和。
給定n和k,請計算所有n個點的帶標號的簡單無向圖的價值之和。
因為答案很大,請對998244353取模輸出。
Input
第一行包含兩個正整數n,k(1<=n<=10^9,1<=k<=200000)。
Output
輸出一行一個整數,即答案對998244353取模的結果。
Sample Input
6 5
Sample Output
67584000
題目分析
顯然\(ans=n\cdot 2^{\frac {n\cdot(n-1)}2-(n-1)}\sum\limits_{i=0}^{n-1}i^k\cdot \binom{i}{n-1}\)
其中,後面的求和式子與Codeforces 932E Team Work化簡方式相同。
\[ ans=n\cdot 2^{\frac {n\cdot(n-1)}2-(n-1)}\cdot\sum_{i=0}^k\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i\binom {n-1}i2^{n-1-i} \]
用NTT預處理出\(\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\),答案便可直接計算。
程式碼實現
#include<iostream> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<iomanip> #include<cstdlib> #define MAXN 0x7fffffff typedef long long LL; const int N=200005,mod=998244353; using namespace std; inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;} int ksm(int x,int k){ int ret=1; while(k){ if(k&1)ret=(LL)ret*x%mod; x=(LL)x*x%mod,k>>=1; } return ret; } int fac[N],inv[N]; int C(int n,int m){ if(n<m)return 0; return (LL)fac[m]*inv[m]%mod; } int rev[N<<2]; void NTT(int *a,int x,int K){ int n=(1<<x); for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]); for(int i=1;i<n;i<<=1){ int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp); if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2); for(int j=0;j<n;j+=tmp){ int w=1; for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){ int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod; a[j+k]=(x+y)%mod,a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod; } } } if(K==-1){ int inv=ksm(n,mod-2); for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod; } } int a[N<<2],b[N<<2]; int main(){ int n=Getint(),K=Getint(); fac[0]=1;for(int i=1;i<=K;i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*(n-i)%mod; inv[0]=1;for(int i=1;i<=K;i++)inv[i]=(LL)inv[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod; int x=ceil(log2(K<<1|1)); a[0]=1;for(int i=1,t=1;i<=K;i++,t=(LL)t*i%mod)a[i]=(((i&1)?-1:1)*ksm(t,mod-2)+mod)%mod,b[i]=(LL)ksm(i,K)*ksm(t,mod-2)%mod; for(int i=0;i<(1<<x);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1); NTT(a,x,1),NTT(b,x,1); for(int i=0;i<(1<<x);i++)a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod; NTT(a,x,-1); int ans=0; for(int i=0,t=1,lim=min(n-1,K);i<=lim;i++,t=(LL)t*i%mod) ans=(ans+(LL)a[i]*t%mod*C(n-1,i)%mod*ksm(2,n-i-1)%mod)%mod; cout<<((LL)ans*n%mod*ksm(2,((LL)n*(n-1)/2-(n-1))%(mod-1))%mod+mod)%mod; return 0; }