問題：給定一個序列A[0],..,A[N-1]，兩個人輪流從序列兩頭取數字（每次只取一個），雙方都用最優策略，使自己的取到的數字和儘量比對手大。
問先手是否必勝？當和一樣大時規定先手勝。(True/False)
例：
A = [1,5,233,7]
輸出：True(,先手取1，無論後手取哪個，先手都能取到233，即先手必勝)

問題分析：
這是一道博弈型dp,其實質上是區間型dp,目標是讓自己拿到的數字和不必對手小
設己方數字和是A,對方是B,目標是A>=B,等價於A-B>=0
也就是說，如果兩人都存著自己與對手的數字和之差，Sa = A-B，Sb = B-A,先手目標是讓Sa最大化，後手目標讓Sb最大化
當一方X面對剩下的數字時，他的目標就是最大化Sx = X-Y，當X取走一個數字m後，對手Y此時也變成先手，Sy = Y-X
對於X來說
        Sx = -Sy+m = m-Sy
        m是當前要取的數字，Sy是對手的數字和

現在X有兩種選擇，取序列A的頭或者尾,因為是最優策略，X選取的m = max{A的頭，A的尾}、

case1:如果X取的是A[0],則Y面對的是A[1],...,A[N-1],則Y的目標是最大化Sy,則X想要最大化Sx = -Sy+A[0] = A[0]-Sy
case2:如果X取走的是A[N-1]，則Y面對的是A[0],...,A[N-2],則Y的目標是最大化Sy',則X想要最大化Sx' = -Sy'+A[N-1] = A[N-1]-Sy'

當Y面對X取走一個數字後，此時Y是先手，他的目標同樣是最大化Sy,但此時Y面對的序列是A[1],...,A[N-1]或者是
A[0],...,A[N-2]

子問題：設f[i][j]表示先手面對序列A[i][j]時能得到的與對手的數字差。
    f[i][j] = max{A[i]-f[i+1][j] , A[j]-f[i][j-1]}
            max{case1取頭  ； case2取尾}
只有一個數字A[i]時，己方得到數字A[i],對方沒有數字了，得0，數字差為A[i]
   f[i][i] = A[i] (i = 0,...,N-1)
計算順序：
序列長度1：f[0][0],f[1][1],......,f[N-1][N-1]
序列長度2：f[0][1],f[1][2],...,f[N-2][N-1]
.
.
.
序列長度N-1:f[0][N-2],f[1][N-1]
序列長度N:f[0][N-1]

答案：f[0][N-1]>=0，則返回True否則返回False

時間和空間複雜度都是O(N^2)，空間複雜度可以優化到O(N)

程式碼及註釋如下：

def take_coins_inturn(A):
    n = len(A)
    if n == 0:
        return True
    f = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
    #初始化f[i][i]  = A[i]
    #長度1
    for i in range(n):
        f[i][i] = A[i]
        
    #長度2,..n
    for l in range(2,n+1):
        for i in range(0,n-l+1):
            j = i+l-1
            #f[i][j] = max{A[i]-f[i+1][j] , A[j]-f[i][j-1]}
            f[i][j]= max(A[i]-f[i+1][j] , A[j]-f[i][j-1])
        
    #只要f[0][n-1]大於等於0，說明先手必勝，否則先手必輸
    return True if f[0][n-1] >= 0 else False
A = [1,5,233,7]
print(take_coins_inturn(A))
#結果：True

優化空間解釋：
本來要計算矩陣f是n*n的，計算順序是從f[i][i]組成的對角線開始，向右上計算過去，和dp基礎之最長迴文子串裡的優化空間解釋圖一樣

每次計算f[i][j]時，和本行的f[i][j-1]、下一行的f[i+1][j]有關（只和f[i][j]左邊一個數和下邊一個數有關），且算完f[i][j]時，

f[i][j-1]（f[i][j]左邊的那個數）不會再用到，因此，f[i][j]直接覆蓋f[i][j-1]（左邊那個數）。壓縮到一行就是新計算出來的f[i]覆蓋到原來的f[i]

程式碼及註釋如下：

def take_coins_inturn(A):
    n = len(A)
    if n == 0:
        return True
    f = [0 for i in range(n)] 
    #初始化f[i][i]  = A[i]
    #長度1
    for i in range(n):
        f[i] = A[i]
        
    #長度2,..n
    for l in range(2,n+1):
        for i in range(0,n-l+1):
            j = i+l-1
            #f[i][j] = max{A[i]-f[i+1][j] , A[j]-f[i][j-1]}
            f[i]= max(A[i]-f[i+1] , A[j]-f[i])
        
    #只要f[0][n-1]大於等於0，說明先手必勝，否則先手必輸
    return True if f[0] >= 0 else False
A = [1,5,233,7]
print(take_coins_inturn(A))
#結果：True