問題 ：給定a[i](i=0...n-1),找到最長上升子序列(假設長度為k)，輸出k

例：
a = [4,2,4,5,3,7]
返回 
k=4（[2,4,5,7]）
 

分析：
對於最優策略：一定有最後一個元素a[j]
情況1：最優策略就是{a[j]},長度k就是1
情況2：最優策略子序列長度大於1，則最優策略中最後一個元素a[j]前一定有一個元素a[i],且a[i]<a[j](i<j)
       且以a[i]結尾的序列列也是最優的

子問題：f[i]表示以a[i]結尾的最長子序列長度
    f[i] = max{1,f[i]+1 | i<j && a[i]<a[j] } 
 
計算順序：
f[0]...f[n-1]

時間複雜度O(n^2) ,空間複雜度O(n)

程式碼及註釋如下：

def long_sequence(a):
    #f[i]表示以a[i]結尾的上升子序列的長度
    n = len(a)
    if n == 0:
        return ;
    f = [0 for j in range(n)]
    #初始，以a[0]結尾的最長上升子序列長度就是1
    for j in range(n):
        #情況1，f[0] = 1
        f[j] = 1
        #列舉j之前最優子序列長度
        for i in range(j):
            if a[i] < a[j] and f[j] < f[i]+1:
                f[j] = f[i] + 1
    return max(f)
a = [4,2,4,5,3,7]
print(long_sequence(a))
#結果：4
 

信封問題跟這個類似，就放一起比較

問題：給定N個信封的長和寬，如果另一個信封的長和寬更小，則可以被套進信封去，問，最多巢狀多少個信封？

分析：
確定狀態：
先考慮長度,將所有信封長度從小到大排序
設：最優策略裡最外層信封的長度時Ej,則
    次外層信封的長度Ei,也是最優策略，且Ei<Ej（i<j）

子問題:要知道以Ej結尾的最優策略的長度，則我們需要知道以Ei結尾的最優策略

設f[i]是以Ei為最外層信封的最優策略的信封數
    f[i] = max{i, f[j] + 1 | Ej在Ei裡，j<i}

無初始條件

依次求f[0],...,f[n-1]
需要對信封長度排序，時間複雜度O(N^2)，空間複雜度O(N)
 

程式碼及註釋如下：

def doll_envelope(E):
    n = len(E)
    if n == 0:
        return 0
    #f[i]是以Ei為最外層信封的最優策略的信封數
    f = [0 for i in range(n)]
    for i in range(n):
        #f[0] = 1
        f[i] = 1
        for j in range(i):
            #前面的長度小且寬度小，信封j可以放到信封i裡
            if E[j][0] < E[i][0] and E[j][1] < E[i][1]:
                f[i] = max(f[i],f[j] + 1)
    return max(f)
A = [[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]
E = sorted(A)
print(doll_envelope(E))
#結果：3

未完待續。。。