資料結構（查詢）

阿新 • • 發佈：2018-11-27

查詢

實驗簡介

介紹二分查詢和雜湊查詢，二分查詢是對於有序序列，每次都縮小一半查詢範圍的查詢方法，而雜湊查詢是關鍵字與在資料集中的位置一一對應，通過這種對應關係能快速地找到資料。

查詢部分和排序部分的示例程式碼可以通過如下程式碼來獲取

wget http://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/20/Search_Sort.zip

一、二分查詢

前面幾章我們已經講了幾種線性和非線性的資料結構，瞭解了資料的儲存方式，這一章我們來講下怎麼查詢這些資料。

順序查詢想必大家都知道，就是從頭到尾比較資料集中的每一個數據，以此來獲得想要的資料，但當資料集中擁有的資料較多時，這種方法的效率就會很低。

二分查詢是比順序查詢效率高的一種查詢演算法，但它只適用於有序的資料集。二分查詢也叫折半查詢，它的查詢步驟為：首先，假設表中元素是按升序排列，將表中間位置記錄的關鍵字與查詢關鍵字比較，如果兩者相等，則查詢成功；否則利用中間位置記錄將表分成前、後兩個子表，如果中間位置記錄的關鍵字大於查詢關鍵字，則進一步查詢前一子表，否則進一步查詢後一子表。重複以上過程，直到找到滿足條件的記錄，使查詢成功，或直到子表不存在為止，此時查詢不成功，如下圖所示。

下面是二分查詢的程式碼實現：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int 
 BinarySearch(int *array, int key, int low, int high)
{
    int mid;
    while (low <= high)
    {
        mid = (low + high) / 2;
        if (key == array[mid])
        {
            return mid;
        }
        else if (key < array[mid])
        {
            high = mid - 1;
        }
        else 

        {
            low = mid + 1;
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    int n, i, key, position;
    int *array;
    printf("請輸入有序陣列的大小：");
    scanf("%d", &n);
    array = (int*) malloc(sizeof(int) * n);
    printf("請按升序輸入資料：\n");
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &array[i]);
    }
    printf("請輸入想要查詢的數：");
    scanf("%d", &key);
    if (position = BinarySearch(array, key, 0, n - 1)) 
    {
        printf("%d的位置為：%d\n", key, position);
    }
    else
    {
        printf("%d不存在\n", key);    
    }
}

二、雜湊查詢

1. 散列表

通常我們查詢資料都是通過一個一個地比較來進行，那麼有沒有可能有這樣的一種方法，要尋找的資料與其在資料集中的位置存在一種對應的關係，通過這種關係就能找到資料的位置。其實這種方法已經存在了，這個對應關係稱為雜湊函式（雜湊函式），由這個思想建立的表就稱為散列表（雜湊表）。

2. 雜湊函式的構造

要構造雜湊表首先需要有雜湊函式，並且這個雜湊函式需要儘可能地減少衝突，通常有下面幾種構造方法：

(1) 直接定址法

我們通過一個例子來講解，如果我們現在要對0-20歲的進行人口統計，那麼我們對年齡這個關鍵字就可以直接用年齡的數字作為地址。此時f(key) = key。

這個時候，我們可以得出這麼個雜湊函式：f(0) = 0，f(1) = 1，……，f(20) = 20。這個是根據我們自己設定的直接定址來的。人數我們可以不管，我們關心的是如何通過關鍵字找到地址。

如果我們現在要統計的是80後出生年份的人口數，那麼我們對出生年份這個關鍵字可以用年份減去1980來作為地址。此時f (key) = key-1980。

假如今年是2000年，那麼1980年出生的人就是20歲了，此時 f(2000) = 2000 - 1980，可以找得到地址20，地址20裡儲存了資料“人數500萬”。

也就是說，我們可以取關鍵字的某個線性函式值為雜湊地址，即：

f(key) = a × key + b

這樣的雜湊函式優點就是簡單、均勻，也不會產生衝突，但問題是這需要事先知道關鍵字的分佈情況，適合査找表較小且連續的情況。由於這樣的限制，在現實應用中，直接定址法雖然簡單，但卻並不常用。

(2) 數字分析法

數字分析法是在知道關鍵字的情況下，取關鍵字的儘量不重複的幾位值組成雜湊地址。

(3) 平方取中法

平方取中法就是取關鍵字平方後的中間幾位為雜湊地址。

(4) 摺疊法

摺疊法是將關鍵字分為位數相等的幾部分，最後一部分的位數可以不等，然後把這幾部分的值（捨去進位）相加作為雜湊地址。

(5) 除留餘數法

除留餘數法此方法為最常用的構造雜湊函式方法。對於散列表長為m的雜湊函式公式為：

f( key ) = key mod p ( p ≤ m )

mod是取模（求餘數）的意思。事實上，這方法不僅可以對關鍵字直接取模，也可在摺疊、平方取中後再取模。

很顯然，本方法的關鍵就在於選擇合適的p，p如果選得不好，就可能會容易產生同義詞。下面我們來舉個例子看看：

有一個關鍵字，它有12個記錄，現在我們要針對它設計一個散列表。如果採用除留餘數法，那麼可以先嚐試將雜湊函式設計為f(key) = key mod 12的方法。比如29 mod 12 = 5，所以它儲存在下標為5的位置。

不過這也是存在衝突的可能的，因為12=2×6=3×4。如果關鍵字中有像18(3×6)、30(5×6)、42(7×6)等數字，它們的餘數都為6，這就和78所對應的下標位置衝突了。

使用除留餘數法的一個經驗是，若散列表表長為m，通常p為小於或等於表長（最好接近m)的最小質數或不包含小於20質因子的合數。實踐證明，當P取小於散列表長的最大質數時，產生的雜湊函式較好。

(6) 隨機數法

隨機數法是選擇一個隨機函式，取關鍵字的隨機函式值作為雜湊地址。

3. 處理衝突

前面在雜湊函式的構造中我們發現雜湊地址可能會產生衝突，所以處理衝突也是構造散列表中重要的一部分，通常處理衝突的方法有下面幾種：

(1) 開發定址法

所謂的開放定址法就是一旦發生了衝突，就去尋找下一個空的雜湊地址，只要散列表足夠大，空的雜湊地址總能找到，並將記錄存入，公式為：

fi(key) = (f(key)+di) MOD m (di=1,2,3,......,m-1)

用開放定址法解決衝突的做法是：當衝突發生時，使用某種探測技術在散列表中形成一個探測序列。沿此序列逐個單元地查詢，直到找到給定的關鍵字，或者碰到一個開放的地址（即該地址單元為空）為止（若要插入，在探查到開放的地址，則可將待插入的新結點存入該地址單元）。查詢時探測到開放的地址則表明表中無待查的關鍵字，即查詢失敗。

比如說，我們的關鍵字集合為{12,67,56,16,25,37,22,29,15,47,48,34}，表長為12。我們用雜湊函式f(key) = key mod l2。

當計算前S個數{12,67,56,16,25}時，都是沒有衝突的雜湊地址，直接存入：

計算key = 37時，發現f(37) = 1，此時就與25所在的位置衝突。

於是我們應用上面的公式f(37) = (f(37)+1) mod 12 = 2。於是將37存入下標為2的位置。這其實就是房子被人買了於是買下一間的作法：。

接下來22,29,15,47都沒有衝突，正常的存入：

到了 key=48，我們計算得到f(48) = 0，與12所在的0位置衝突了，不要緊，我們f(48) = (f(48)+1) mod 12 = 1，此時又與25所在的位置衝突。於是f(48) = (f(48)+2) mod 12=2，還是衝突……一直到 f(48) = (f(48)+6) mod 12 = 6時，才有空位，機不可失，趕快存入：

我們把這種解決衝突的開放定址法稱為線性探測法。

二次探測法

考慮深一步，如果發生這樣的情況，當最後一個key=34，f(key)=10，與22所在的位置衝突，可是22後面沒有空位置了，反而它的前面有一個空位置，儘管可以不斷地求餘數後得到結果，但效率很差。

因此我們可以改進di = 12, -12, 22, -22,……, q2, -q2 (q <= m/2)，這樣就等於是可以雙向尋找到可能的空位置。

對於34來說，我們取di即可找到空位置了。另外增加平方運算的目的是為了不讓關鍵字都聚集在某一塊區域。我們稱這種方法為二次探測法。

fi(key) = (f(key)+di) MOD m (di = 12, -12, 22, -22,……, q2, -q2, q <= m/2)

隨機探測法

還有一種方法，是在衝突時，對於位移量di採用隨機函式計算得到，我們稱之為隨機探測法。

此時一定會有人問，既然是隨機，那麼查詢的時候不也隨機生成嗎？如何可以獲得相同的地址呢？這是個問題。這裡的隨機其實是偽隨機數。

偽隨機數是說，如果我們設定隨機種子相同，則不斷呼叫隨機函式可以生成不會重複的數列，我們在査找時，用同樣的隨機種子，它每次得到的數列是相同的，相同的di當然可以得到相同的雜湊地址。

fi(key) = (f(key)+di) MOD m (di是一個隨機數列)

總之，開放定址法只要在散列表未填滿時，總是能找到不發生衝突的地址，是我們常用的解決衝突的辦法。

(2) 再雜湊法

再雜湊法是當雜湊地址衝突時，用另外一個雜湊函式再計算一次，這種方法減少了衝突，但增加了計算的時間。

(3) 鏈地址法

前面我們談到了雜湊衝突處理的開放定址法，它的思路就是一旦發生了衝突，就去尋找下一個空的雜湊地址。那麼，有衝突就非要換地方嗎？我們直接就在原地處理行不行呢？

可以的，於是我們就有了鏈地址法。

將所有關鍵字雜湊地址相同的記錄儲存在一個單鏈表中，我們稱這種表為同義詞子表，在散列表中只儲存所有同義詞子表的頭指標。

對於關鍵字集合{12,67,56,16,25,37, 22,29,15,47,48,34}，我們用12為除數，進行除留餘數法：

此時，已經不存在什麼衝突換址的問題，無論有多少個衝突，都只是在當前位置給單鏈表增加結點的問題。鏈地址法解決衝突的做法是：將所有關鍵字雜湊地址相同的結點連結在同一個單鏈表中。若選定的散列表長度為m，則可將散列表定義為一個由m個頭指標組成的指標陣列T[0..m-1]。凡是雜湊地址為i的結點，均插入到以T[i]為頭指標的單鏈表中。T中各分量的初值均應為空指標。在拉鍊法中，裝填因子α可以大於1，但一般均取α≤1。

鏈地址法的優勢是對於可能會造成很多衝突的雜湊函式來說，提供了絕不會出現找不到地址的保障。當然，這也就帶來了査找時需要遍歷單鏈表的效能損耗，不過效能損耗在很多場合下也不是什麼大問題。

(4) 建立公共溢位區

這種方法的基本思想是：將散列表分為基本表和溢位表兩部分，凡是和基本表發生衝突的元素，一律填入溢位表。

三、小結

這一章我們講了二分查詢和雜湊查詢，二分查詢是對於有序序列，每次都縮小一半查詢範圍的查詢方法，而雜湊查詢是關鍵字與在資料集中的位置一一對應，通過這種對應關係能快速地找到資料，雜湊查詢中雜湊函式的構造和處理衝突的方法尤為重要，常見雜湊函式的構造方法有直接定址法、數字分析法、平方取中法、摺疊法、除留餘數法和隨機數法，處理衝突的方法有開放定址法、再雜湊法、鏈地址法和建立公共溢位區。

資料結構（查詢）

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一、二分查詢