【省內訓練2018-11-23】Bishop
【思路要點】
- 先考慮一個子問題,在 N∗N 棋盤的主對角線及其右下方放置 K 個不能互相攻擊的車,求方案數 f(N,k)。考慮最後一行的放置情況,有遞推式 f(N,k)=f(N−1,k)+(N−k+1)∗f(N−1,k−1) 。觀察該遞推式的形式,不難發現其實際上等於第二類斯特林數 S(N+1,N+1−k) 。
- 在本題中,首先,象的移動方式不會改變座標 (x,y) 對應的 x+y 的奇偶性,我們可以將這兩類座標分開處理,再將結果卷積起來,得到答案。
- 考慮 x+y 為偶數的座標,我們將棋盤旋轉 45 度,我們得到了一個類似於上述子問題的問題形式,每一行可以放入車的方格數為 1,1,3,3,5,5,7,7,... ,換而言之,偶數行的主對角線上是不允許放入棋子的。
- 考慮對這條新加入的限制進行容斥,記 M=⌊2N⌋ ,新問題的方案數為 g(N,K) 。列舉強制放入棋子的方格數 i ,則有 g(N,k)=∑i=0M(−1)i(iM)S(N−i+1,N−k+1) 。
- 展開斯特林數,有 g(N,k)=∑i=0M(−1)i(iM)(N−k−1)!1∑j=0N−k+1(−1)N−k+1−j(jN−k+1)jN−i+1 。
- 交換求和順序,有 g(N,k)=(N−k−1)!1∑j=0N−k+1(−1)N−k+1−j(jN−k+1)∑i=0M(−1)i(iM)jN−i+1 。
- 由二項式定理,有 g(N,k)=(N−k−1)!1∑j=0N−k+1(−1)N−k+1−j(jN−k+1)(j−1)MjN−M+1 。
- NTT 對其卷積即可,時間複雜度
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