超實數系統的單子（Monad）結構

    在上世紀中葉，以哥德爾為首的數理邏輯先鋒派，高舉數學公理化的旗幟，為無窮小恢復了名譽。1976年，J. Keisler在魯賓遜非標準分析基礎上，做了進一步的具體細化與完善，出版了《基礎微積分》（無窮小方法）教材。

很明顯的事實是，引進無窮小就必須擴大原有的實數系R，使其成為”超實數“有序域*R。這就帶來了一些新的問題。在*R中，如果兩個超實數x，y相差一個無窮小，就說它們無限地接近，記為x≈y。顯然，關係”≈“具有自反性、對稱性與傳遞性，因而，關係“≈”是一個*R上的等價關係。在”≈“等價關係的作用下，超實數系*R成為一種”団狀物“的大聚合。在數學界老前輩Leibniz”單子論”的感召下，現在的人們稱這種”団狀物“為“單子”（Monad）並且為：                                                      

Monad(x)= {y∈*R┃y≈x}

在這種超實數“團狀物”裡面，有無數的相互無限接近超實數，但是，其中有沒有原有的實數呢？假定有，那麼，單子裡面也只能容納一個實數，因為，兩個不同的實數不可能無限地接近，使其同存於一個單子之中。那麼，單子裡面到底有沒有原有的實數呢？研究結果表明：在原有實數系R上的單子裡面都有一個實數，正巧是“一對一”。其根源就是，因原有實數系統R是一個完備的有序域（OrderedField）。在單子裡面，超實數繼承了原有實數系的某些基本特性。

在一個超實數“單子”裡面，許許多多的超實數團聚在一個原有實數r的周圍，以其為它們的共同“凝聚中心”。人們稱這個“凝聚中心”r為該單子裡面超實數的“標準部分”（standardpart），並且引入記號：st(x)=r。由此可見，“st”是連結超實數*R與實數R的一個”橋樑“。

Let x and y be finite,then:

1）x≈ y if and only if st(x) = st(y).

2）x≈ st(x).

3）If r ∈ R then st(r) = r.

4）If x ≤ y then st(x) ≤ st(y).

這4條基本性質並不是很顯然的，都存在嚴格的證明。函式st的性質還有很多，在此，我們暫且不提。

進入本世紀初，超實連續統（HyperContinuum）得到迅速發展及應用，單子結構顯示出巨大的潛力。我們不能掉以輕心。實際上，斜率、速度、導數、微分與積分這些基礎概念都是藉助趨函式”st“來定義的。

袁萌  陳啟清  11月28日