5.3 圖的儲存及基本操作★3◎2

　　相對於其他的線性資料結構，圖的儲存要複雜很多，因為頂點數相同的圖，其邊（或弧）的數量相差很大。比如一個有n個頂點e條邊的圖，若是以頂點為結點來儲存，由於各個頂點的度數不一致，無法指定結點的指標域中需要的指標數。雖然可以定義結點的指標域存在n-1個指標，但這樣儲存過於複雜，儲存密度過小；若以邊為結點來儲存，又不便於頂點遍歷。所以一般情況下，圖需要同時儲存頂點和邊的資訊。
　　1．鄰接矩陣法
　　鄰接矩陣法又稱陣列表示法，是儲存圖的最簡單方法，它的基本思想是用一個n×n的鄰接矩陣表示圖中的邊或弧的資訊，用一個n維向量來儲存n個頂點的資訊，其中針對“圖”和“網”， 鄰接矩陣有不同的解釋。
　　（1）圖的鄰接矩陣
　　設G

　　即如果頂點vi和vj之間存在一條邊或弧，定義A[i,j]為1，否則定義為0。
　　比如圖5-1(a)中的有向圖和圖5-1(b)中的無向圖的鄰接矩陣分別如圖5-2中矩陣A1和矩陣A2所示。

　　無向圖的鄰接矩陣是一個對稱矩陣。
　　圖的鄰接矩陣可以很方便地應用於以下兩個方面：
　　① 判斷任意兩個頂點之間是否有邊相連線。
　　當A[i,j]取值為1時，頂點Vi和頂點Vj存在邊或弧直接連線。
　　當A[i,j]取值為0時，頂點Vi和頂點Vj不存在邊或弧直接連線。
　　② 獲取頂點的度、入度或出度
　　在無向圖的鄰接矩陣中，第i行或第i列上的所有非0元素的個數就是頂點Vi的度。比如圖5-2(b)中：
　　TD(V1)=3；TD(V2)=2；TD(V3)=1；TD(V4)=2。
　　在有向圖的鄰接矩陣中，第i行上的所有非0元素的個數就是頂點Vi的出度，第i列上的所有非0元素的個數就是頂點Vi的入度，兩者之和就是頂點Vi的度。比如圖5-2(a)中：
　　OD(V1)=3；ID(V1)=1；TD(V1)=4；
　　OD(V2)=1；ID(V2)=1；TD(V2)=2；
　　OD(V3)=0；ID(V3)=1；TD(V3)=1；
　　OD(V4)=1；ID(V4)=2；TD(V4)=3；
　　（2）網的鄰接矩陣
　　網與圖的區別是網的每條路徑之間都帶有權值，因此網的鄰接矩陣當中必須能夠儲存此權值，定義網的鄰接矩陣如下：

　　其中：① 邊(vi,vj)或弧<vi,vj>上的權值；② ∞表示無窮大，在計算機中常常用一個大於所有邊的權值的數來代替。
　　即如果頂點vi和vj之間存在一條邊或弧，定義A[i,j]此邊或弧的權值，否則定義為無窮大。
　　例如圖5-3中（a）和（c）分別為有向網和無向網，（b）和（d）分別是其對應的鄰接矩陣。

　　（3）鄰接矩陣的儲存結構表示
　　如下定義了一個鄰接矩陣描述圖的例子：
　　
　　圖的鄰接矩陣儲存法的空間複雜度為，n為圖的頂點數。
　　2．鄰接表法
　　鄰接表是圖的鏈式儲存結構，對於圖G中的每個頂點vi，鄰接表法把所有鄰接於vi的頂點vj鏈成一個帶頭結點的單鏈表，這個單鏈表就是頂點vi的鄰接表，其頭結點描述了頂點vi資訊，其餘結點描述了與頂點vi相連的邊或弧的資訊。
　　（1）鄰接表的表結點結構
　　鄰接表中的每個結點代表了一條邊或弧，它由三個域組成，分別為：
　　① 鄰接點域adjvex
　　存放與vi相鄰接的頂點vj的序號j。
　　② 邊弧相關域info
　　存放與邊(vi,vj)或弧<vi,vj>相關的資訊，比如權值等。
　　③ 指標域next
　　指向單鏈表中下一結點的位置，也就是儲存下一條邊或弧的結點位置。
　　（2）頭結點結構
　　鄰接表的頭結點描述了頂點vi的資訊，它由兩個域組成，分別是：
　　① 頂點域data
　　存放頂點vi及其相關的資訊。
　　② 指標域first
　　記載vi的鄰接表的第一個結點的指標。
　　鄰接表的儲存結構示意如圖5-4所示。
　　為了便於隨機訪問任一頂點的鄰接表，一般情況需要將所有頭結點順序儲存在一個向量中。

　　（4）有向圖的鄰接表
　　有向圖的鄰接表中儲存以vi為弧尾的弧資訊，圖5-3（a）的有向圖鄰接表如圖5-6所示。

　　（5）有向圖的逆鄰接表
　　有向圖的鄰接表中儲存以vi為弧尾的弧資訊，現定義有向圖的逆鄰接表為：儲存每條以vi為弧頭的弧資訊，那麼圖5-3（a）的有向圖的逆鄰接表如圖5-7所示。

　　（6）鄰接表的儲存結構表示
　　如下定義了一個鄰接表描述圖的例子：
　　
　　圖的鄰接表儲存法的空間複雜度為O(n+e)，其中n為圖的頂點數，e為圖的邊數。
　　3．圖的兩種儲存結構比較
　　鄰接矩陣和鄰接表是圖的兩種最常用的儲存結構，它們各有特點，其比較如表5-2所示，其中n是圖的頂點數，e是圖的邊數（或弧數）。

表5-2 圖的鄰接矩陣儲存法與鄰接表儲存法特點比較

　　總的來說，鄰接矩陣適用於稠密圖中，而鄰接表適用於稀疏圖中。