Codeforces 553E Kyoya and Train
題目大意
鏈接：CF533E
給一張\(n\)個點，\(m\)條邊的圖，起點\(1\)終點\(n\)，如果不能在\(T\)的時間內到達則需支付\(X\)的代價。
走每條邊都會支付一定代價，經過一條邊\(i\)的時間有\(p_{i,j}\)的概率為\(j\)，最小化期望代價。
題目分析
暴力方法：期望DP
設\(f_{i,j}\)表示在第\(j\)時刻，從\(i\)點出發，到達終點的期望花費，
設邊為\(e\)，邊上兩點為\(x,y\)，邊集為\(E\)，則有
\[
f(x,t)=\min\limits_{e\in E}\{val_{e}+\sum_{i=1}^Tp_{e,i}\cdot f(y,t+i)\}
\]
時間復雜度\(O(n\cdot T^2)\)。
或許你會覺得這樣轉移有問題，因為這不是一個DAG圖，
但是，由於沒有負權環，一個點不可能回到它的祖先，所以我們可以當做DAG來處理。
現在想想怎麽優化這個DP。
我們設\(g_{e,t}\)表示\(\sum\limits_{i=1}^Tp_{e,i}\cdot f(y,t+i)\)，顯然有
\[
f(x,t)=\min\{val_e+g(e,t)\}
\]
我們可以利用分治。
如果要求出\(l\leq t\leq r\)的所有\(f(x,t)\)和\(g(e,t)\)，不妨設\(mid=l+r>>1\)，
先求出\(mid<t\leq r\)
（方法co自這位大佬的博客）
對於\(g(e,t)\)，我們可以考慮把它化為卷積的形式進行更新。
令\(mid=mid+1\)，對於\(g(e,mid-1)\)，我們有\(g(e,mid-1)+=\sum\limits_{i=0}^{r-mid+1}p_{e,i+1}\cdot f(e,mid+i)\)
我們把\(f\)數組反轉，\(g(e,mid-1)+=\sum\limits_{i=0}^{r-mid+1}p_{e,i+1}\cdot f(e,r-i)\)。
在映射一下：\(g(e,mid-1)+=\sum\limits_{i=0}^{r-mid+1}p^{\prime}_{e,i}\cdot f^\prime(e,r-mid-i)\)
即：\(g(e,mid-x)+=\sum\limits_{i=0}^{r-mid+1}p^{\prime}_{e,i}\cdot f^\prime(e,r-(mid-x)-i-1)\)
用\(ans(r-(mid-x)-1)\)來更新\(g(mid-x)\)，即用\(ans(r-t-1)\)來更新\(g(t)\)。
代碼實現
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 1<<30
typedef long long LL;
const int N=100005;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const double pi=acos(-1);
struct Z{
double r,i;
Z(double _r=0,double _i=0){r=_r,i=_i;}
Z operator + (const Z &a)const{return Z(r+a.r,i+a.i);}
Z operator - (const Z &a)const{return Z(r-a.r,i-a.i);}
Z operator * (const Z &a)const{return Z(r*a.r-i*a.i,r*a.i+i*a.r);}
Z operator / (const double &a)const{return Z(r/a,i/a);}
Z operator /= (const double &a) {return *this=Z(r/a,i/a);}
};
void FFT(Z *a,int x,int K){
static int rev[N],lst;
int n=1<<x;
if(n!=lst){
for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
lst=n;
}
for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1){
int tmp=i<<1;
Z wn(cos(pi/i),sin(pi*K/i));
for(int j=0;j<n;j+=tmp){
Z w(1,0);
for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn){
Z x=a[j+k],y=w*a[i+j+k];
a[j+k]=x+y,a[i+j+k]=x-y;
}
}
}
if(K==-1)for(int i=0;i<n;i++)a[i]/=n;
}
Z a[N],b[N];
int n,m,T,X;
double p[105][20005];
struct node{int x,y,z;}s[105];
double mp[55][55],f[55][N],g[105][N];
void Floyd(){
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
mp[i][j]=min(mp[i][j],mp[i][k]+mp[k][j]);
}
void Cal(int l,int mid,int r){
int len=r-l;
for(int j=1;j<=m;j++){
int x=ceil(log2(len+r-mid));
fill(a,a+(1<<x),0),fill(b,b+(1<<x),0);
for(int i=0;i<r-mid+1;i++)a[i].r=f[s[j].y][r-i];
for(int i=0,lim=min(T,len);i<lim;i++)b[i].r=p[j][i+1];
FFT(a,x,1),FFT(b,x,1);
for(int i=0;i<(1<<x);i++)a[i]=a[i]*b[i];
FFT(a,x,-1);
for(int i=mid-1;i>=l;i--)g[j][i]+=a[r-i-1].r;
}
}
void Binary(int l,int r){
if(l==r){
for(int i=1;i<=m;i++)
f[s[i].x][l]=min(f[s[i].x][l],s[i].z+g[i][l]);
return;
}
int mid=l+r>>1;
Binary(mid+1,r);
Cal(l,mid+1,r);
Binary(l,mid);
}
int main(){
n=Getint(),m=Getint(),T=Getint(),X=Getint();
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(i^j)mp[i][j]=MAXN;
for(int i=1;i<=m;i++){
int x=Getint(),y=Getint(),z=Getint();
s[i]=(node){x,y,z};
mp[x][y]=min(mp[x][y],1.0*z);
for(int j=1;j<=T;j++)p[i][j]=(double)Getint()/100000;
}
Floyd();
for(int j=T+1;j<=2*T;j++)f[n][j]=X;
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=0;j<=T;j++)f[i][j]=MAXN;
for(int j=T+1;j<=2*T;j++)f[i][j]=X+mp[i][n];
}
Cal(1,T+1,2*T);
Binary(0,T);
printf("%.6f",f[1][0]);
return 0;
}Codeforces 553E Kyoya and Train