拜占庭協定

  如同飛機上的感測器，系統一個節點即使崩潰也不會立即停止工作，他們有時會呈現出一種不穩定的狀態，行為表現為一種隨機的狀態。我們稱一個可能呈現任意行為的節點為拜占庭（Byzantine），該節點的表現包括以下形式：

1. 根本不傳送任何訊息
2. 向不同鄰居傳送不同且錯誤的訊息
3. 謊報自己的輸入值

  我們將一個存在拜占庭節點的系統中達成的共識（詳見The Science of the Blockchain筆記二）稱為拜占庭協定。該系統中所有非拜占庭節點稱為好節點（correct nodes），如果一個演算法可以在存在f個拜占庭節點的情況下正確工作，則稱該演算法為 f

  根據上章對共識的定義我們可以發現在拜占庭協定中一致性（Agreement）和可終止性（Termination）顯然成立，下面來介紹有效性（Validity）如何保證。

有效性

  定義 4.3（任何輸入有效性 Any-Input Validity） 最終的決策值必須是某個節點的輸入值。

  定義 4.4（正確輸入有效性 Correct-Input Validity） 決策值必須是某個好節點的輸入值。

  在一個存在拜占庭節點的系統，實現正確輸入有效性並不容易，因為一個拜占庭節點可以遵守協議，但是如果謊報它的輸入值，此時無法將其與一個好節點進行區分。於是我們需要一個新的定義來替代它。

  定義 4.5（全部相同有效性 All-Same Validity） 如果所有好節點起始時具有相同的輸入值 v，則決策值也必須是 v。

  根據全部相同有效性，我們可以發現如果決策值是布林型的，可以由該性質得到正確輸入有效性。但如果輸入值不是布林型的，全部相同有效性在很多場景下並不能真正有用。

  定義 4.6 （中值有效性 Median Validity） 如果輸入值是有序的，比如實數值，可以使決策值接近所有正確輸入值的中值，以避免拜占庭異常。這裡，與中值的差距取決於拜占庭節點的個數 f。

  定義 4.7（同步 Synchronous） 在同步（Synchronous）模式下，節點執行在同步輪次中。在每一輪，每個節點可能向其他節點發送一條訊息，接收其他節點發送的訊息，並進行某些本地計算。

  定義 4.8（同步執行時 Synchronous Runtime） 再同步模式下，執行時（Runtime）可以簡單地等同於在最壞情況下演算法從開始到結束運行了多少輪。

  接下來我們將嘗試設計一個演算法，使其可以容忍單個拜占庭節點。

有多少個拜占庭節點

演算法 4.9 拜占庭協定（f =1）

1: 	Code for node u, with input value x: 
	Round 1
2: 	Send tuple(u, x) to all other nodes 
3: 	Receive tuple(v, y) from all other nodes v 
4: 	Store all received tuple(v, y) in a set Su
	Round 2
5: 	Send set Su to all other nodes 
6: 	Receive sets Sv from all nodes v 
7: 	T = set of tuple(v, y) seen in at least two sets Sv, including own Su
8: 	Let tuple(v, y) ∈ T be the tuple with the smallest value y
9: 	Decide on value y

評論:

• 拜占庭節點可能不遵守上述協議併發送語法上錯誤的訊息，這種訊息很容分辨並被丟棄，但是如果拜占庭節點發送訊息語法正確，內容卻是偽造的，這就難以分辨。
• 有些錯誤難以被輕易發現。如一個拜占庭節點想不同節點發送不同值。但有些錯誤可以而且必定能被檢測出來，如一個拜占庭節點發送一個集合 $S_v$，其中包含了他自己的值 $tuple(v,y)$，這個元祖必然會被接收節點 $u$ 從 $S_v$ 中移去（演算法第 6 行）。
• 在此我們假定假節點不能偽造他們的源地址。

  引理 4.10 如果 $n \geq 4$所有好節點都將得到同一個集合T。
  證明： 由於 $n \geq 4$， $f=1$，所以我們至少有 3 個好節點。對於每個好節點，都會在第一輪中與另外兩個好節點進行一次通訊，同時也會在第二輪中通過另一好節點確認該值，於是每個好節點的值都將至少出現兩次，而拜占庭節點如果將一相同值傳送了超過兩次，那所有好節點也會收到該值超過兩次，於是被包含進最終的決策中，但如果拜占庭節點發送的值各不相同，那這些值都無法進入最終的決策。

  定理 4.11 如果 $n \geq 4$演算法 4.9將能達成拜占庭協定。
  證明： 由引理 4.10 可知該演算法能夠滿足任何輸入有效性，且該演算法將在兩輪後中止，並達成拜占庭協定。需要注意，拜占庭演算法需要達成全部輸入相同有效性，對於滿足任何輸入有效性的決策集合，演算法 4.9 在其第 8 行中通過從至少出現兩次的之中選擇最小值的方法，保證了最後可以得到全部相同有效性。

  定理 4.12 如果網路中只包含 3 個節點，且其中一個為拜占庭節點，則該網路不能達成符合全部相同有效性的拜占庭協定。
  證明： 為了達成全部相同有效性，一個好節點若是發現另一個節點的值與自己相同，就必須將決策值設定為自己的值。第三個節點可能不同意這個值，但是它可能是拜占庭節點。

  定理 4.13 若一個有 $n$ 個節點的網路中存在 $f \geq n/3$個拜占庭節點，則該網路不能達成拜占庭協定。
  證明： 採用反證法，假定存在這麼一個滿足條件的演算法，那麼根據該演算法我們可以在一個只有 3 個節點的網路中解決拜占庭問題，這與定理 4.12 矛盾，所以不存在這種演算法。

國王演算法

Algorithm 4.14 King Algorithm (for f < n/3)
1: x = my input value
2: for phase = 1 to f + 1 do
Round 1
3: Broadcast value(x)
Round 2
4: if some value(y) at least n − f times then
5: Broadcast propose(y)
6: end if
7: if some propose(z) received more than f times then
8: x = z
9: end if
Round 3
10: Let node v i be the predefined king of this phase i
11: The king v i broadcasts its current value w
12: if received strictly less than n − f propose(x) then
13: x = w
14: end if
15: end for

  引理4.15 演算法4.14實現了全部相同有效性。
  證明： 如果所有好節點初始時擁有相同的輸入值，則好節點們在第2輪都會提議這個值。所有好節點將會接收到至少n-f個提案，因此所有好的節點將保持這個值，並且不會切換到國王的值。這個結論對所有階段都適用。

  引理4.16 在n>3f的情況下，如果一個好節點提議x，不會有其他好節點提議另一個值y(y≠x)。
  證明： 採用反證法。假設一個好節點A提議x，並且有另一個好節點B提議y (y≠x)。注意到一個好節點只會在接收到n-f次包含同一個值的訊息之後才會提議這個值，並且最多隻有f個拜占庭節點發送x給A且發生y給B。我們可以推出下面的結論：A和B都從至少n-2f個好節點處接收到它所提議的值（x或y），且它們的訊息來源沒有交集。於是，網路中將至少存在2*(n-2f)+f=2n-3f個節點。由於3f<n，我們將得到2n-3f>2n-n=n，這與前提（網路中有n個節點）矛盾。

  引理4.17 至少存在一個階段，該階段的國王是好節點。
  證明： 演算法包含f+1個階段，每個階段的國王都不同。由於系統中只有f個拜占庭節點，因此至少一個國王是好節點。

  引理4.18 當n>3f，如果某一輪的國王是好節點，所有的好節點們在這輪之後都不會改變它們的值v。
  證明： 如果所有的好節點都將它們的值修改為國王的值，則所有好節點的值都相同。如果某個好節點沒有將它的值改為國王的值，說明它已經至少接收到某個值的提案n-f次，於是至少n-2f個好節點廣播了這個提案。這樣，所有的好節點都會接收到這個提議n-2f>f次（因為n>3f），所以所有好節點都會將它的值設定為這個提案的值，包括國王。注意到根據引理4.16，只有一個值可以被提議超過f次。根據引理4.15，沒有哪個節點會在這一輪之後改變它的值。

  定理4.19 演算法4.14解決了拜占庭協定問題
  證明： 若以下兩個條件之一被滿足，國王演算法將達成協定。條件一：所有好節點起始的值相同。條件二：在某個階段（該階段的國王為好節點）之後，所有好節點在同一個值上達成一致（根據引理4.17和引理4.18）。我們知道好節點將持續保持這個值（引理4.15）。演算法將確保在3*(f+1)輪之後終止。而根據引理4.15，全部相同有效性肯定成立。

評論：

• 演算法4.14需要f+1個預先指派好的國王。我們在之前假設：這些國王及其輪值king的順序，都是給定的。事實上，指派這些國王本身就是一個拜占庭協定任務。而且這個任務必須在國王演算法執行之前完成。
• 有沒有演算法可以在沒有國王的情況下實現拜占庭協定？有，請見後文。
• 我們能否在少於f+1輪內解決拜占庭協定（或至少是共識）？

“輪”數的下界

  定理4.20 在網路中存在f個崩潰節點的情況下，一個同步演算法需要至少f+1輪來達成共識以判定網路中所有節點的最小輸入值。
  證明： 反證法。假定存在某個演算法A，A可以在f輪以內解決共識問題。某個節點u1擁有最小的輸入值x，但是在第一輪中，u1在自己崩潰之前，只來得及將自己的訊息（包含它的輸入值x）僅僅發給了另外一個節點u2。不幸的是，在第二輪，唯一看到x的節點u2也僅將x傳送給了另一個節點u3，然後崩潰。這個過程不斷重複，於是在第f輪，只有節點u f+1知道最小的值x。由於演算法A在第f輪終止，節點u f+1將認為最小值是x，而所有其他存活的（好）節點則會接受某個比x大的值為最小值。於是演算法A沒有在第f輪達成共識。

評論：

• 我們也可以得到一個更一般的證明，不需要“判定最小值”這個限制。
• 某些拜占庭節點也可能僅僅崩潰，因此這個下界也對拜占庭協定問題成立。因此演算法4.14的執行效率是接近最優的。
• 到現在為止，我們所談到的拜占庭協定演算法都假定同步模式。那麼，拜占庭協定問題能在非同步模式下解決嗎？

非同步模式下的拜占庭演算法

Algoritnm 4.21 Asynchronous Byzantine Agreement(Ben-or,for f<n/9
1: xi∈｛0，1｝ / input bit
2: r = 1 / round
3: decided = false
4: Broadcast propose(xi,r)
5: repeat
6: Wait until n−f propose messages of current round r arrived
7: if at least n − 2f propose messages contain the same value
x then
8: xi = x, decided = true
9: else if at least n − 4f propose messages contain the same
value x then
10: xi = x
11: else
12: choose xi randomly, with P r[xi = 0] = P r[xi = 1] = 1=2
13: end if
14: r = r + 1
15: Broadcast propose(xi,r)
16: until decided (see Line 8)
17: decision = xi

  引理4.22 假設n>9f，當一個好節點在演算法第10行選擇了x，所有其他好節點都會在第10行選擇x
  證明： 假設0和1都在第10行被選中，則節點個數至少為2·(n-4f)>n，矛盾！

  定理4.23 f<n/9的情況下，演算法4.21可解決布林型拜占庭問題
  證明： 有效性：若所有好節點輸入相同的值x，在第一輪就將達成一致，由此可見，我們滿足了全部相同有效性。若好節點輸入值不同，任意決策值都將符合有效性的要求。
  一致性：假定u為第一個選定x的節點，且從Su處接受訊息。由於處在非同步模式，另一個節點v可能從Sv處接受到訊息。注意到，Su和Sv中至多有f個節點不同。考慮到拜占庭節點可能會撒謊，v還可能收到f條與u不同的訊息。u至少收到n-2f條包含x的訊息，則v至少收到n-2f-2f=n-4f條包含x的訊息。於是v(任一好節點)將在下一輪提議x。於是滿足一致性。
  可終止性：由上，只要有一個好節點終止執行，則所有好節點將在下一輪終止執行。於是我們考慮最壞的情況，即所有好節點都進入第12行，隨機選擇xi。顯然我們希望好節點碰巧選擇了同一個值。根據概率公式計算的概率為2^-(n-f)+1。因此，在最壞的情況下，執行時間將隨節點數量n呈指數增長。

評論：

• 這個演算法證明了非同步拜占庭協定是可以達成的。但由於執行效率過低，該演算法沒有實際價值。