文章目錄

• 微分方程的數學背景
• $du/dt=Au$的解
• 二階微分方程
• 矩陣A的指數次冪（$e^{At}$）

微分方程的數學背景

• 二階常係數齊次線性微分方程： $y^{{}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}$
  + p y ′ + q
  y = 0 y^{''}+py^{'}+qy=0

1. p、q 是常數：這是常係數微分方程；不是常數：變係數微分方程
2. 當 r 為常數的時候，指數函式 $e^{}$
   r x e^{rx} 和它的各階derivative都只差一個常數因子。所以，我們用此函式取適當的係數，看是否能滿足微分方程。
3. 將 $y=e^{rx}$   $y^{'}=re^{rx}$   $y^{''}=r^{2}e^{rx}$   代入方程：
   $(r^2+pr+q)e^{rx}=0$
   $因為e^{rx}\not=0$，所以 $(r^2+pr+q)e^{rx}=0$ ， $(r^2+pr+q)e^{rx}=0$叫做微分方程的特徵方程，解出來的 $r_1$和 $r_2$叫做特徵根

$du/dt=Au$的解

二階微分方程

矩陣A的指數次冪（ $e^{At}$）

全見 introduction to linear algerbra 312頁