Eigenvalues And Eigenvectors

The Definition of Eigenvalues and Eigenvectors

解釋：Matrix $A$ 乘以 vector $x$

x

得到

\lambda x

意味著，A作用於x並沒有改變x的方向，只對其做了大小的改變。

x

是

A

的特徵向量（Eigenvector）,

\lambda

是

A

的特徵值（Eigenvalue）

首先 $Ax=\lambda x$ ,那麼， $Ax-\lambda x=0$ , $(A-\lambda I)x=0$ , 如果 $x$ 非0向量，則 $(A-\lambda I)$ 是singular的。所以det $(A-\lambda I)=0$
然後，根據 $|A-\lambda I|$ =0 , 求出Eigenvalues $\lambda$ ,然後再根據 $(A-\lambda I)x=0$ 求出Eigenvectors $x$
例子：求A的特徵值和特徵向量 $A= \left[ \begin{matrix} .8 & .3 \\ .2 &.7 \end{matrix} \right]$

解：
特徵值： $|A-\lambda I|= \left| \begin{matrix} .8-\lambda & .3 \\ .2 &.7 -\lambda \end{matrix} \right|=0$
$\lambda ^{2}-\frac{3}{2}\lambda+\frac{1}{2}=(\lambda-1)(\lambda-\frac{1}{2})=0\space \space\space\space\space\space \space\space\space\space \space \space\space\space\space \lambda _1=1 \space\space \space\space\lambda _2=\frac{1}{2}$

特徵向量：
$\left[ \begin{matrix} .8-1 & .3 \\ .2 &.7-1 \end{matrix} \right]x=0\space \space\space\space\space\space \space\space\space\space \space \space\space\space\space \left[ \begin{matrix} .8-\frac{1}{2} & .3 \\ .2 &.7-\frac{1}{2} \end{matrix} \right]x=0$
$x_1=(0.6,0.4)\space\space\space\space\space \space\space x_2=(1,-1)$
特徵向量有很多，取最容易計算，典型值，其他的都是它的大小縮放。 $A^2$ 的特徵向量和A一樣，特徵值是 $\lambda_1 ^2 \space\space \space\space\lambda_2 ^2$ ，即 $A^2x=\lambda^2x$

在這裡插入圖片描述

Characteristics :