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矩陣等價 與 向量組 等價

這也是考試喜歡考察的一塊地方,注意它們之間的區別

(1)矩陣等價A\congB

這是指經過A經過有限次初等變換可以化為B。兩矩陣等價的前提條件是同型。

判別條件r(A)=r(B)

即兩矩陣等價的充要條件是矩陣同型且秩相同。

(2)向量組等價

這就不需要有同型的條件

必要條件:r(I)=r(II)

充要條件:r(I)=r(II)且 向量組I可由向量組II線性表出

計算:r(I)=r(II)=r(I  , II)

(3)兩者之間的關係

向量組等價可以推出矩陣等價

但矩陣等價,向量組不一定等價

例題:source:2013年真題

分析:這裡既然B可逆,說明 A,C的秩已經相等,這裡肯定是A.C可能會存在等價的關係,B說白了就是一個變換,下面就是表出的問題,這裡就用到分塊的思想了,分塊真的是向量組這一大章裡非常重要的一環。

以A選項做分析:現在C的行向量組,也就是對A,C進行了行分塊,

現在A可以看成n*1的矩陣,與n*n的矩陣B相乘,開什麼玩笑???

再看Bxu選項,列向量組就是進行列分塊,現在A可以看成1*n   B是n*n  C 是1*n  完美!