一類劃分關係和指數級生成函式，多項式exp的關係
阿新 • • 發佈：2018-12-08
劃分關係
姑且這麼叫著
設滿足性質 \(A\) 的集合為 \(S_A\)，每個元素有標號
如果 \(S_B\) 是由若干個 \(S_A\) 組成的一個大集合
設 \(a_i\) 表示大小為 \(i\) 的 \(S_A\) 的個數
設 \(b_i\) 表示大小為 \(i\) 的 \(S_B\) 的個數
構造指數級生成函式
\[A(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_i\frac{x^i}{i!}\]
\[B(x)=\sum_{i=0}^{\infty}b_i\frac{x^i}{i!}\]
\(A\) 和 \(B\) 有如下關係
\(e^{A(x)}=B(x)\)
考慮列舉 \(S_B\)
\[B(x)=\sum_i\frac{A^i(x)}{i!}=e^{A(x)}\]
一些例子
1
設 \(f_i\) 表示不要求連通的 \(i\) 個點 的 \(DAG\) 的方案數
設 \(g_i\) 表示連通的 \(i\) 個點 的 \(DAG\) 的方案數
構造指數級生成函式
\[F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_i\frac{x^i}{i!}\]
\[G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}g_i\frac{x^i}{i!}\]
那麼
\[F(x)=e^{G(x)},G(x)=ln F(x)\]
2
設 \(f_i\)
簡單無向圖的指數級生成函式
\[G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}2^{\binom{i}{2}}\frac{x^i}{i!}\]
簡單無向連通圖的指數級生成函式
\[F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_i\frac{x^i}{i!}\]
\[G(x)=e^{F(x)}, F(x)=ln G(x)\]