[Codeforces 1070F]Debate（貪心）

阿新 • • 發佈：2018-12-08

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洛谷 RemoteJudge
Codeforces 1070F

Meaning

Alice 和 Bob 參加選舉
有 $n$ 個投票人，第 $i$ 個人有兩個屬性 $s_i$ 和 $a_i$
對於第 $i$ 個人， $s_i$ 是一個長度為 $2$ 的 $01$ 串
$s_i=00$ 表示第 $i$ 個人不支援 Alice 和 Bob
$s_i=01$ 表示第 $i$ 個人不支援 Alice 但支援 Bob
$s_i=10$ 表示第 $i$ 個人支援 Alice 但不支援 Bob
$s_i=11$ 表示第 $i$ 個人支援 Alice 和 Bob
第 $i$ 個人的影響力為 $a_i$
現在要從中選出一些人，滿足下面 $2$ 個條件
（1）選出的人中，支援 Alice 的人數的 $2$ 倍大於或等於選出的人數
（2）選出的人中，支援 Bob 的人數的 $2$ 倍大於或等於選出的人數
求選出的人的影響力之和的最大值

Solution

考慮把所有投票人按照 $s_i$ 分開，顯然在最優方案中 $s_i=11$ 的投票人必須被選出
然後重點對 $00$ 、 $01$ 、 $10$ 進行分析
一個結論：在最優方案中，所有 $s_i=01$ 的投票人全部被選出，或者所有 $s_i=10$ 的投票人全部被選出
證明：如果有一種合法方案，有 $x$ 個 $s_i=01$ 的投票人沒被選出，有 $y$ 個 $s_i=10$ 的投票人沒被選出
那麼再選 $\min(x,y)$ 個 $s_i=01$ 的投票人和 $\min(x,y)$ 個 $s_i=10$ 的投票人則顯然還是合法
下面對 $s_i=01$ 的投票人全部被選出的情況進行討論（ $s_i=10$ 的投票人全部被選出的情況同理）
先把 $s_i=10$ 的投票人按照 $a_i$ 進行排序並求影響力的字首和
$s_i=00$ 的投票人幹同樣的事情
下面設 $n_x$ 為 $s_i=x$ 的投票人個數
列舉 $s_i=10$ 的投票人選出的個數 $k$
那麼如果 $n_{11}+k<n_{01}$ （支援 Alice 的人太少）或者 $n_{11}+n_{01}<k$ （支援 Bob 的人太少）則這個 $k$ 不合法
否則之多可以選擇 $\min(n_{00},n_{11}+k-n_{01},n_{11}+n_{01}-k)$ 個 $s_i=00$ 的投票人
上式 $\min$ 內第一個引數為 $s_i=00$ 的人數，第二個引數表示支援 Alice 1人數減去不支援 Alice 的人數（換句話說，表示最多還能有多少個人不支援 Alice ），第三個引數表示最多還能有多少個人不支援 Bob 。
顯然在 $s_i=00$ 的人中選出一些以及在 $s_{i} = 10$