一、概述

眾所周知，計算機是由各種電子元器件組成的，其中半導體可以通過它的開關狀態來傳遞和處理資訊，所以我們可以用1和0分別表示開和關兩種狀態。邏輯電路通常只有接通和斷開兩種狀態，所以我們以二進位制來處理會非常方便。所謂二進位制表示從0開始，“逢二進一”（N進位制則逢N進一）。比如十進位制的0、1、2的二進位制表示為0、1 、10。

二、進位制轉換

網上有很多進位制轉換的方法，我這裡就不多做闡述，只介紹一個我自己常用的簡便方法（自認為簡便o(╯□╰)o）。都知道，二進位制表示中，1：表示2^0(即十進位制1)，10：表示2^1(即十進位制2)，100：表示2^2(即十進位制4)......依次類推，所以111=100+10+1=2^2+2^1+2^0=4+2+1=7。於是，我們得出如下方法：

二進位制->十進位制： ，其中 n表示從低位往高位數的位數(從0開始)，x表示對應位數上的值(1或者0)，示例：101101=>1 * 2^0 + 0 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 + 0 * 2^4 + 1 * 2^5 = 1+0+4+8+0+32=45

十進位制->二進位制：相當於二進位制轉換十進位制的反推，比如要將十進位制數N轉換為二進位制：第一步,找到一個最接近且小於等於N的為2的乘方的數m（即m=2^x，x為整數），記錄下來，二進位制對應x位上即為1,；第二步，對N-m重複步驟一，知道N-m==1或0。示例，將十進位制數168轉換為二進位制：

1、如果等於1或0，則直接輸出，反之進行下一步

2、找到最接近且小於等於168的2的乘方的數為128（2^7），所以第7位為1，記錄下來（10000000）；

3、然後對40（即168-128）重複0、1步驟，找到32（2^5），所以第5位為1，記錄下來（10100000）；

4、然後對8（即40-32）重複0、1步驟，找到8（2^3），所以第3位為1，記錄下來（10101000）；

5、然後對0重複1步驟（此時為0，直接輸出0，表示第0位為0）

所以最終結果為：128+32+8 -> 10101000

運用熟練後，對不是特別大（這個多大才算大就因人而異了o(╯□╰)o）的十進位制數都能做到快速的轉換，比如237，可以不用動筆計算快速的得出結論：

237 -> 128+64+32+8+4+1 -> 然後從右往左直接寫出結果：11101101

三、原碼、反碼、補碼和儲存

1、闡述

首先，前面我們講了，計算機中只由1和0表示，當然包括我們常見的表示負數的符號"-"，規定：一個有符號二進位制數，其最高位為符號位，1表示負，0表示正，剩餘位才是數值域。所以一個位元組(8位)，如果無符號可以表示2^8個(其範圍為：0~2^8-1)不同的數（在計算機中可能是對應2^8個不同的狀態），但是如果是有符號數，則需要犧牲最高位來表示符號位，所以雖然同樣可以表示2^8個數，但是表示範圍成了：-2^7 ~ 2^7-1。在此，對於原碼、反碼、補碼，我先給出概念，下面再詳細闡述，

正數：原碼、反碼、補碼都是其本身

負數：原碼=本身；反碼=原碼符號位不變，其它位取反；補碼=反碼+1，例：10010001：原=10010001 反=11101110 補：11101111

系統中二進位制均以補碼形式存在。

2、詳解

我們用最高位表示符號位，的確能夠在一定程度解決負數在計算機中的儲存問題，但是運算時又發現了另一個問題。我們就簡單的加減法運算舉個例子：1 - 1 = 0，這個是毋庸置疑的，如果換成二進位制（假設我們用8位儲存），那麼，-1的二進位制為：10000001,1的二進位制為：00000001，所以1 - 1 = -1 + 1 = 10000001 + 00000001 = 10000010 = -2，明顯結果不對，所以符號位不能直接參與數的運算，而要處理又會非常麻煩；另外一方面，現在0這個數尷尬的出現了兩種表現形式：00000000和10000000（分別為+0和-0），這沒有什麼意義。為了解決問題，人們機智的提出了補碼的概念，接下來我們一步步闡述。

我們的程式設計師朋友在開發過程中，都會涉及到各式各樣的資料型別，比如java中的byte、int、long等等(java中均為有符號數)。而且大家也熟知，byte佔1個位元組，int佔4個位元組，long佔8個位元組，這表示什麼含義呢？舉個例子，如果我們要把一個int型別的數強轉為byte，可能會造成精度缺失，比如：130（int）在系統中的表示為：00000000 00000000 00000000 100000010，現在把130強轉為byte，即執行如下操作：(byte)130，由於byte型別只能儲存8位，所以結果只剩下低8位：100000010，而最高位表示符號位，這個明顯已經是一個負數，現在我們按照進位制轉換規則求解：注意這個是補碼形式，需要轉換為對應的原碼我們才好看出來是多少，按照原碼-補碼轉換規則執行一次即可：100000010(補)->111111101(不是反碼，只是一箇中間數)->11111110(原碼)，對應十進位制數為：-126，所以 ，System.out.println((byte) 130)的輸出結果為：-126。

有了上面的介紹，我們再來看二進位制的加法運算。一個8位二進位制數，暫時先不考慮符號位，其能表示的最大的值為：11111111(255)，如果現在在上述值的基礎上加1，按照逢二進一的原則，則成了100000000，由於最多儲存8位，所以結果成了：00000000，如果再加1，就成了00000001，依次類推。所以，在8位儲存的背景下，如果我們從0開始一直不停的往上加1，其過程就會是這種形式：0,1,2...255,0,1,2,...255,0,1...，這樣一直重複，是不是感覺一直在轉圈圈？其實這個就和我們做模運算是一個道理。現在拋開二進位制，舉個簡單的例子，咱們小學數學常見的分數，分母為4的分數：、、、、、、......等等可以表示為：、、、、、、......，其中的則表示：1 + ，即以4為週期過了1個週期，第二個週期到了四分之三處，表示餘數，所以讀作：一又四分之三，後面還會有二又四分之三、三又四分之三等等。

我們前面舉的二進位制例子和這個是同樣的道理，11111111+1表示一個255週期滿了，開始下一個週期，即"一個255又0"，但是我們只能儲存8位，前面那個表示1個255的1，已經到了第9位，被直接丟棄了，所以結果為00000000。接著分數的例子，如果我們模擬丟棄高位的處理邏輯，把前面的係數丟棄，只保留餘數，則成了：、、、、、、、.......。明顯看出來這是一個“迴圈”，然後我們再來看這個“迴圈”，我們要把通過運算得到，有哪些方案？方案1： -  ，即向後移動1步；方案2： + ，即向前移動3步。之前在其他地方看到過一個例子：時鐘。時鐘的小時計數都是1~12,。假設我們要把指標從5點轉到6點，可以順時針轉1個小時單位，也可以逆時針轉11個小時單位。時鐘裡的12在數學中表示模，而1和11則互為補數。所以，這類結構資料的減法都可以使用加法來代替。

再談補碼：

還是假設使用8位儲存，參照上面的例子（無符號數），其能表示的最大的數為255，如果再加1，最高位被丟棄，回到了0，所以其模為2^8=256，這樣我們就可以把模的概念運用到二進位制的運算中來，具體就是運用補數。再看我們之前遇到的問題,1-1則可以看做是1+(1的補數)，而1的補數=256-1=255即二進位制形式的：11111111，所以1-1=00000001+11111111=100000000，最高位丟棄，結果為：00000000=0，這樣計算就沒有問題了。這裡我們用11111111表示了-1，你可能已經看出來了，這就是-1（10000001）的補碼。所以我們可以說，負數的補碼，其實就可以看做是對應正數在當前模(n位，其模為2^n)下的補數(二進位制形式)。

接下來我們回到有符號數

注：如果我們對一個正數的原碼取反加一，就可以得到這個正數對應負數的補碼，比如還是8位儲存，十進位制正數4，其二進位制：00000100，取反：11111011，再加一：11111100，其 為 10000100（-4）的補碼。

因此，一個8位二進位制正數的補碼範圍為：00000001~01111111（1~127）,負數的補碼範圍(可通過對應正數的原碼取反加一求得)為：10000001~11111111（-127~-1），再加上00000000，所以我們能表示的範圍成了10000001~01111111(-127~127)。這裡等等，細心的朋友可能發現了，上面表示的補碼範圍中，10000000呢？明顯不可能直接丟棄。其實，我們可以先按照二進位制運算規則來算一算：-127-1等於多少，當然從數學的角度明顯等於 -128，那麼從8位二進位制的角度考慮呢？即 -127 -1 = 10000001(-127的補碼)+11111111(-1的補碼)= 110000000需要捨棄最高位，最終也得到10000000。所以我們可以把10000000表示為-128。 這樣還同時解決了+0 和-0的問題，保證了資料的完整性，運算邏輯也沒有問題。所以執行：System.out.println((byte)(127+1)),你得到的結果會是：-128，執行：System.out.println((byte) -(127 + 1))，結果也是：-128。就像我們把時鐘從12點開始，順時針轉動12個小時單位和逆時針轉動12個小時單位得到的結果是一樣的。

如果上面的還是不好理解，可以看看下面的例子(僅僅用作輔助理解)：

一個8位儲存的二進位制數，我們用最高位表示符號位，數值域也就只剩下7位，能表示的最大的數就成了127(2^7-1)，即模=2^7=128。我們定義從0開始，往前走一步為+1，往後退一步為-1，形成迴圈0,1,2...127,0,1,2...，週期為128步。然後，我們就可以開心的舉例子了：

8 - 6 = 8 + (6的補數) = 8 + (128-6) = 8 + 122 = 130：表示在8的基礎上往前走121步，得到1個128又2：結果=2(等價於8往後退2步可以得到6，即8-2=6)；

6 - 8 = 6 + (8的補數) = 6 + (128 - 8) = 6 + 120 = 126：表示在6的基礎上往前走120步，得到差2步到1個128：結果= -2（等價於6往前走2步可以得到8，即6+2=8），-2怎麼表示呢？最高位表示為1即可表示負數：即10000010(原)。

這當然是非常“粗俗”的解釋，我們把8-6和6-8的操作對應到計算機的實際運算過程：

1、8 - 6

首先，求得-6的補碼，演示兩種方式：

方式一(通過反碼求補碼)：-6->10000110（原）->11111001（反）->11111010(補)

方式二(通過正數原碼取反加一)：6->00000110（原）->全部取反加一 ->11111010

然後和8(00001000)做加運算：00001000(補)+11111010(補)=1 00000010(補)，最高位丟棄：00000010=2(正數，原碼==補碼)

2、6-8

首先，求得-8的補碼：8->00001000(原)->全部取反加一->11111000

然後和6(00000110)做加運算：00000110(補)+11111000(補)=11111110(補)，轉換為對應的原碼為：10000010(原) = -2

以上為本人個人理解，希望能幫到廣大朋友，如有錯誤之處，懇請指正，謝謝！