題目

求區間[l,r]內，滿足某條件的數的個數。這個條件一般與數的組成有關，如不包括4，非0位不超過3個，等等。

解法

1. 答案滿足字首性質，可以用[1,r]的答案減去[1,l-1]的答案。在求解[1,x]時，遍歷每一位數，對每一位數及之後的位求取答案。
2. 在滿足條件的數字很少且方便搜尋時，可以打一個表然後直接upper_bound - lower_bound.

Codeforces 1036C. Classy Numbers

定義好看數字為含有不超過3個非0數字位的數字，1e4個詢問，每次問兩個數(1e18)之間好看數字的個數。

//經過很長時間的優化後 狀態表示：solve(upper,

need)$solve(upper,need)$表示[0,upper]$[0,upper]$內有多少個非0位不超過need個的數字，之所以不用陣列是因為upper會很大，存不下。 初始狀態：upper=0或need=0時，solve為0$upper=0或need=0時，solve為0$ 狀態轉移：

solve(upper,need)=solve(10k−1−1,need)+(upper[0]−1)∗solve(10k−1−1,need−1)+solve(upper%10k−1,need−1)$$\begin{array}{rl}solve(upper,need)=& solve({10}^{k-1}-1,need)+\\ (upper[0]-1)\ast solve({10}^{k-1}-1,need-1\end{array}$$

)+solve(upper%10k−1,need−1) 其中k為表示upper的位數，upper[0]表示upper的最高位數字。 式子第一項表示最高位為0時，第二項表示最高位小於upper最高位，最後一項代表最高位不變。 狀態優化：可以發現，演算法會重複計算非常多次全為9的upper，所以首先打一個表，table[i][j]=solve(10i+1−1,j)$table[i][j]=solve({10}^{i+1}-1,j)$，之後狀態轉移方程變為 solve(upper,need)=table[k−1][need]+(upper[0]−1)∗table[k−1][need−1]+solve(upper%10k

−1,need−1)$$\begin{array}{rl}solve(upper,need)=& table[k-1][need]+\\ (upper[0]-1)\ast table[k-1][need-1]+\\ solve(upper\mathrm{\%}{10}^{k-1},need-1)\end{array}$$ 複雜度：打表複雜度O(80)，當計算solve時，狀態數O(k)，狀態轉移O(1)，總複雜度O(log n)

實現細節：

1. 額外預處理一個10的冪次表，就可以通過upper_bound來獲得位數。
2. 獲得位數後再查表一次求商，就可以獲得最高位的值。
3. 遞迴時不能按位數每次減一，因為會有連續0的情況，只需要統計一次。

const int NEED = 3;
ll table[22][4]={1,1,1,1};
vector<ll> power10(1,1);

ll solve(ll upper, int need)
{
    if(!bit || !need) return 1;
    int bit = upper_bound(power10.begin(), power10.end(), upper) - power10.begin();

    return table[bit - 1][need] +
           (upper / power10[bit - 1] - 1) * table[bit - 1][need - 1] +
           solve(upper % power10[bit - 1], need - 1);
}
int main(void)
{
    for(int i = 1; i <= 18; i++)
        power10.push_back(power10.back() * 10);
    for(int i = 1; i <= 19; i++)    
    {
        table[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= 3; j++)
            table[i][j] = table[i - 1][j] + 9 * table[i - 1][j - 1];
    }
    int T = read();
    while(T--)
    {
        ll lef = read(), rig = read();
        printf("%I64d\n", solve(rig, NEED) - solve(lef - 1, NEED) );
    }

    return 0;
}

小結

字首性質一定要利用好，但本題中是[0,r]-[0,l-1]，0與1要分清楚。 數位dp的狀態表示也像普通dp那樣，直接以答案的形式表示。 因為狀態數過多，無法用陣列表示時，可以整體仍然遞迴，部分記憶化或打表以加快速度。