注意：本文摘自《資料結構——從概念到C實現》【王紅梅 皮德常 編著】

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文章目錄

• 演算法效率分析
• 演算法的時間複雜度
• 演算法的空間複雜度

演算法效率分析

度量演算法的效率有兩種方法

一，事後統計，先實現演算法，再輸入資料來測量其時間，空間開銷。此種方法的缺點至少有

1. 編寫程式實現演算法很耗費時間精力
2. 實驗結果依賴於計算機的軟硬體等環境因素，有時很容易掩蓋演算法本身的優劣。

二，事前分析估計，漸進複雜度估算，這是對演算法所消耗資源的一種估算方法。

演算法的時間複雜度

    同一個演算法用不同的程式設計語言實現，或者用不同的編譯程式進行編譯，或者在不同的計算機上執行，效率均不相同。撇開與計算機軟硬體有關的因素，影響演算法時間代價的最主要因素是問題規模。問題規模是指輸入量的多少，一般來說，它可以從問題的描述中得到。例如，找出100以內的所有素數，問題規模是100；對一個具有n個整數的陣列進行排序，問題規模是n。一個顯而易見的事實是：幾乎任何演算法對於規模更大的輸入需要執行更長的時間。例如，找出1000內所有的素數比找出100內所有的素數需要更多的時間。所以，執行演算法所需要的時間T是問題規模n的函式，記作T(n)。

​    要精確地表示演算法的執行時間函式常常是很困難的，即使能夠給出，也可能是個相當複雜的函式。為了客觀地反映一個演算法的執行時間，可以用演算法中基本語句的執行次數來度量演算法的工作量。基本語句是執行次數與整個演算法的執行次數成正比的語句，基本語句對演算法執行時間的貢獻最大，是演算法中最重要的操作。這種衡量效率的方法得出的不是時間量，而是一種增長趨勢的度量。換而言之，只考察問題規模充分大時，演算法中基本語句的執行次數在漸近意義下的階，稱作演算法的漸近時間複雜度，通常使用大O記號表示。

【定義1-1】若存在兩個正的常數c和n0，對於任意的n>=n0，都有T(n)<=c * f(n)，則稱T(n) = O(f(n))（讀作“T(n)是Ofn的”，f(n)即與演算法的執行時間函式同一數量級的估算函式）

​    此定義表明了函式T(n)與f(n)具有相同的增長趨勢，並且T(n)的增長至多趨同於函式f(n)的增長。大O記號用來描述增長率的上限，也就是說，當輸入規模為n時，演算法耗費的時間的最大值。

​    演算法的時間複雜度實際上是一種估算技術，若兩個演算法中的一個比另一個“稍微快一點”時，並不能基於時間複雜度來判斷哪個演算法更為優越。但在實際應用中，基於時間複雜度來判斷演算法的效率被證明是很有效的，尤其在確定演算法是否值得實現的時候。常見的時間複雜度如下：
$O(\log_2n)&lt;O(n)&lt;O(nlog_2n)&lt;O(n^2)&lt;O(n^3)&lt;...&lt;O(2^n)&lt;O(n!)$
​    演算法的時間複雜度是衡量一個演算法優劣的重要標準。一般而言，具有多項式時間複雜度的演算法是可以接受的，可使用的演算法，而具有指數時間複雜度的演算法，僅當問題規模足夠小的時候才是可以使用的演算法。

演算法的空間複雜度

演算法在執行過程中所需的儲存空間包括：

1. 輸入/輸出資料佔用的空間
2. 演算法本身佔用的空間
3. 執行演算法所需要的輔助空間

    其中，輸入/輸出資料佔用的空間取決於問題，與演算法無關；演算法本身佔用的空間雖然與演算法相關，但一般其大小是固定的。所以，演算法的空間複雜度是指演算法在執行過程中需要的輔助空間數量，也就是除演算法本身和輸入輸出資料所佔用的空間外，演算法臨時開闢出的儲存空間。

    如果演算法所需的輔助空間相對於問題規模來說是一個常數，我們稱此演算法為原地（或就地）工作，否則，這個輔助空間數量應該是問題規模的函式，通常記作：
$S(n) = O(f(n))$
    其中，n為問題規模，分析方法與演算法的時間複雜度類似。