對待問題的思路：

1、如果問題能分解成子問題，考慮分治，並且能觀察最優子結構，考慮動態規劃，如果問題有貪心性質，考慮貪心。

2、如果問題不能分或者不好分成問題，考慮逐步改進的方法，如線性規劃，非線性規劃，二次規劃，網路流等。

3、觀察解形式，x=[x1,x2,x3,x4...xn] xi=0/1，考慮列舉，智慧列舉，貪心等。

4、對於hard問題，考慮放鬆標準，如最優解->近似解，確定性演算法->隨機的演算法，最壞的情況下->正常的情況下。

例項一：

輸入：兩個數a,b（a>=b）

輸出：gcd（a,b）

分析：可以分解成子問題，如gcd(1949,101)->gcd(101,30)->gcd(30,11)->gcd(11,8)->gcd(8,3)->gcd(3,2)->gcd(2,1)->gcd(1,0)，故採用分治演算法。

程式碼：

function Euclid(a,b):
    if b=0 then
        return a;
    end if
    return Euclid(b,a mod b);

例項二：

輸入：n個城市V=｛1，2，...，n｝，和一個距離矩陣D，dij（1<=i,j<=n）表示距離城市i到城市j。
輸出：最短的旅程，遊遍每個城市一次，回到最初的城市。

1、首先看能否分解成子問題

考慮M(S,e)表示最小距離，從城市1開始，旅行S中的每一個城市，並且最後到達e城市。

如下圖：

最短路徑可計算為:

min{d2,1 + M({3, 4}, 2),

d3,1 + M({2, 4}, 3),

d4,1 + M({2, 3}, 4)}

而如 M({2, 3},4)=min{d34 + M({2}, 3), d24 + M({3}, 2)}

而如M({2}, 3)=d12+d23

所以可以被分解成子問題

程式碼：

這裡e是指V中除去1的每個點

這裡i是指S中除去e的每個點

2、逐步改進策略

從一個粗略的完整的解決方案開始，然後逐步改進

這裡stopping(s)是指已經沒有neighbourhood可選了。

3、智慧列舉策略

方法一：通過邊

如上圖，a → b → c → d → e → a可以表示為 X = [1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1]

我們可以遍歷所有的可能，如下圖：

但是這樣遍歷的可能性太多了，效率太低，我們可以考慮用剪枝的方法來提高效率

方法：

對於一個解X=？？？？？？？？，我們估計最短路程如下：

• 對於每個城市，我們選擇最短的兩條邊
• 這兩條邊的和小於等於2倍的最優路程。
• 因此，我們可以給一個最低下界為1/2*(5+6+8+7+9)=17.5

如：對於X=10????????下界為1/2*(5+6+9+7+9)=18

所以，以此剪枝為

方法二：通過點

路程可以表示成點的序列，如X=[x1,x2,...,xn-1],xi為點，不失一般性，我們假定x1=a，且a,b在c之前出現。

於是我們可以這樣展開：

最後，結果如下：