提起二分查詢，許多人都會想：這是一個簡單問題，我只用一個while或者遞迴就能解決，三行程式碼最多。再把上下限背過，就沒有什麼能難得住的二分查詢問題了。但事實究竟是這樣嗎？ 我們一起從頭看一遍二分查詢，其中穿插各個OJ的二分查詢問題，同時時不時的我們會加入演算法導論中對於這個問題的引申。 ##什麼是二分查詢？ 二進位制搜尋是電腦科學中最基本和最有用的演算法之一。 它描述了在有序集合中搜索特定值的過程。我們需要對二進位制搜尋中的名詞賦予一個簡單的定義：

target - 要搜尋的值 index - 搜尋的當前位置 left ，right - 我們用來維持搜尋空間的指標 mid- 用來應用條件來確定我們是應該向左還是向右搜尋的索引 ##二分查詢的過程 　　在二分查詢的基本形式中，二分搜尋在具有指定左右索引的連續序列（搜尋空間）上執行。維護搜尋空間的左，右和中間標記，並比較搜尋目標; 如果條件不滿足或者值不相等，則消除目標不可能存在的一半（有序序列），並繼續搜尋剩下的一半，直到成功為止。 如果搜尋以空的數字集合部分結束，則無法滿足條件並且未找到目標。 給定n個元素的排序（按升序排列）整數陣列nums和目標值，編寫一個函式來搜尋nums中的目標。 如果target存在，則返回其索引，否則返回-1

Leetcode Binary Search 此程式碼只有 34.4% 為AC，甚至低於許多高階演算法！

 class Solution {
 public:
 int search(vector<int>& nums, int target) {
     if(nums.size() == 0)return -1;
        int left =0;
        int right = nums.size()-1;
        while(left<=right){
           int mid = (left+right) >>1
 
;
            if(nums[mid]<target)left = mid+1;
            else if(nums[mid]>target)right =mid-1;
            else return mid;
        }return -1;
    }
    };

演算法的應用

由於二進位制搜尋是一種演算法，在每次比較後將搜尋空間劃分為2。 所以每次需要搜尋集合中的索引或元素時，都應考慮二進位制搜尋。 如果集合是無序的，我們可以在應用二進位制搜尋之前對其進行排序¹。

總的來說，我們可以將此部分分為：

Markdown畫圖，冒號後面必須空一格，不然報錯。我的天吶。對萌新一點都不友好。

我們總希望能夠研究的二分查詢問題越多越好，雖然我們擁有的思路相同，但每次我們檢視不同大佬程式碼時，它的實現似乎都略有不同。 儘管每個實現在每個步驟中將問題空間劃分為1/2，但其中一個有許多問題：

1. 為什麼它的實現略有不同？
2. 大佬在想什麼？
3. 哪種方式更容易？
4. 哪種方式更好？

###經過多次失敗的嘗試，和資料的閱讀查詢，附上幾個二分查詢的主要模板，並且附上幾個相似的例子。

1、同上面的基本演算法相同的寫法，我們的譚浩強、嚴蔚敏老師就是這麼教我們的

int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
  if(nums.size() == 0)
    return -1;
	int left = 0;
	int right = nums.size() - 1;
  while(left <= right){
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if(nums[mid] == target){ return mid; }
    else if(nums[mid] < target) { left = mid + 1; }
    else { right = mid - 1; }
  }
  return -1;
}

1. 初始條件： left = 0, right = length-1（陣列終點下標）
2. 終止條件： left > right
3. 查詢左搜尋區間：right = mid -1
4. 查詢右搜尋區間：left = mid+1

Ex1:計算並返回x的平方根，其中x保證為非負整數。

由於返回型別是整數，因此將截斷十進位制數字，並僅返回結果的整數部分。

迴圈體中的判斷條件 if(x/mid >= mid) 若為乘法if(mid*mid <=x)時會**TLE**，感興趣的話可以查閱相關資料。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x <2)return x;
        int left = 0;
        int right = x ;
        while(left< right){
            int mid = (right + left) /2;
            if (x/mid >= mid) left = mid+1;
            else right = mid;
        }return right-1;
        
    }           
};

當然我寫完了我的程式碼後也會出來看神仙：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
    long r = x;
    while (r*r > x)
        r = (r + x/r) / 2;
    return r;

嘖嘖嘖。由於此思路與本文主體無關，但既然看到了神仙，我們剛還在說要揣摩大佬的思路，所以特放在附錄裡²。

值得注意的是，上述方法當輸入為 但是一個題目的辦法多種多樣，除了上面的兩個，比如還有Shifting nth root algorithm³

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        res = 0
        bit = 1 << 30
         while bit > x:
            bit >>= 2
                while bit != 0:
            if x >= res + bit:
                x -= res + bit
                res += bit << 1               
            res >>= 1
            bit >>= 2
        return res

言歸正傳，我們能夠看到二分查詢用途廣且方便計算。現在我們來分析一下二分查詢的時間複雜度（討論非遞迴情況，遞迴方式見⁴）。 　　（原諒我遞迴方式 C語言版原諒我在wiki上直接粘了一個，就是這個↓）

int binary_search(const int arr[], int start, int end, int khey) {
	if (start > end)
		return -1;
	int mid = start + (end - start) / 2;    //直接平均可能會溢位，所以用此演算法
	if (arr[mid] > khey)
		return binary_search(arr, start, mid - 1, khey);
	else if (arr[mid] < khey)
		return binary_search(arr, mid + 1, end, khey);
	else
	    return mid;        //最後檢測相等是因為多數搜尋狀況不是大於要不就小於
}

易得 $T(n) =(n/2) +1$ 由主方法知 $n^{log_21}=1$，由於$h(n)=\Theta(n^{log_21}) = \Theta(1)$ 考慮第二種情況：$T(n)=\Theta(n^{log_ba}lgn)$，則$T(n) = \Theta(log_2n)$ ⁵

Ex2:Guess Number Higher or Lower

我們正在玩猜數字遊戲。 遊戲如下： 我從1到n中選擇一個數字。 你猜測我選擇了哪個號碼。每次你猜錯了，我都會告訴你這個數字是高還是低。可呼叫預定義的API guess（int num），它返回3個可能的結果（-1,1或0）

class Solution {
public:
    int guessNumber(int n) {
        int left = 0;
        int right = n;
        if( n<2) return n;
        while(left<=right){
            int mid = left+(right-left)/2;//否則overflow會導致超時，其他需轉換。API傳入值為int。
            if (guess(mid) == 0){
                return mid;
           }else if (guess(mid)==-1){
                right = mid-1;
            }
            else  left = mid +1;
        }return -1;
    }
};

沒有工作量，多調一個API而已。