Description

給出一個$n$個點$m$條邊的無向圖，邊有邊權，對於這張圖的任意一個有根生成樹，定義其權值為 $\sum\limits_{e\in \{x,y\}}w_e\cdot max(d_x,d_y)$ 其中$d_x$為$x$點在生成樹中的深度，統計這張圖所有有根生成樹權值之和，結果模$10^9+7$

Input

第一行輸入兩個整數$n,m$表示點數和邊數，之後$m$行每行三個整數$x,y,z$表示$x,y$之間有一條權值為$x$的邊

$(1\le$

Output

輸出這張圖所有有根生成樹權值之和，結果模$10^9+7$

Sample Input

4 5 1 2 1 1 3 3 1 4 1 2 3 4 3 4 1

Sample Output

303

Solution

考慮每條邊$e=(u,v,w)$對答案的貢獻，貢獻分為兩部分，$u$在生成樹中是$v$的父親節點以及$v$是$u$的父親節點，以$u$

現在考慮狀壓求$f,g$，列舉點集$S$和$S$中一點$u$，下面要把$S$分解為兩個不交的集合$T,W$，因為涉及到計數，故要有順序，否則會記重，令$T$為包含$S-\{u\}$點集中最小編號的集合，$W$為$T$在$S$中的補，列舉$T$中一點$v$，考慮通過將$T,W$通過邊$u\leftrightarrow v$合併進行對$S$狀態的轉移，首先有轉移 $g[S][u]+=g[W][u]\cdot g[T][v]\cdot num[u][v]$ 其中$num[u][v]$表示$u\leftrightarrow v$邊的數量，主要考慮求$f[S][u]$，$u\leftrightarrow v$邊存在狀態有兩種:

1.$u$是$v$的父親，那麼此時$u$的深度不變，有轉移 $f[S][u]+=f[W][u]\cdot g[T][v]\cdot num[u][v]$ 2.$v$是$u$的父親，此時$u$的深度為$v$的深度加一，$v$的深度加一之和為$f[T][v]$，每種方案的深度要再加一才是$u$在這種方案下的深度，點集$T$構成一棵樹的方案數為$cnt[T]\cdot g[T][v]$，故有轉移 $f[S][u]+=(f[T][v]+cnt[T]\cdot g[T][v])\cdot g[W][u]\cdot num[u][v]$ Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod 1000000007
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)x-=mod;
	return x;
}
#define maxn (1<<12)
int n,m,e[5005][3],cnt[maxn],num[13][13],f[maxn][13],g[maxn][13];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&e[i][0],&e[i][1],&e[i][2]);
		e[i][0]--,e[i][1]--;
		num[e[i][0]][e[i][1]]++,num[e[i][1]][e[i][0]]++;
	}
	int N=(1<<n)-1;
	for(int i=1;i<=N;i++)cnt[i]=cnt[i/2]+(i&1);
	for(int S=1;S<=N;S++)
		for(int u=0;u<n;u++)
			if((S>>u)&1)
			{
				int SS=S^(1<<u);
				int temp=SS&(-SS);
				if(!SS)
				{
					f[S][u]=g[S][u]=1;
					continue;
				}
				for(int T=SS;;T=(T-1)&SS)
				{
					if(T&temp)
						for(int v=0;v<n;v++)
							if((T>>v)&1)
							{
								int W=S^T;
								int res=add(mul(f[W][u],g[T][v]),mul(add(f[T][v],mul(cnt[T],g[T][v])),g[W][u]));
								f[S][u]=add(f[S][u],mul(res,num[u][v]));
								g[S][u]=add(g[S][u],mul(mul(g[W][u],g[T][v]),num[u][v]));
							}
					if(!T)break;
				}
			}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int u=e[i][0],v=e[i][1],w=e[i][2];
		for(int S=1<<u;S<=N;S=(S+1)|(1<<u))
			ans=add(ans,mul(w,add(mul(f[S][u],g[N^S][v]),mul(g[S][u],f[N^S][v]))));
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}