線性代數的本質（七）——叉積

叉積的標準介紹

我們知道叉積的這個在學習線性代數的時候，我們知道，兩個向量做叉積運算會得出一個新的向量，新向量垂直於原兩個向量所在的平面，而且新向量的長度是原兩個向量所圍成的面積大小。

$\vec{a} \times \vec{b} = \det \left( \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{bmatrix} \right) = \det \left( \begin{bmatrix} \hat{i} & a_x & b_x \\ \hat{j} & a_y & b_y \\ \hat{k} & a_z & b_z \end{bmatrix} \right)$

$a \times b = det ⎝ ⎛ ⎣ ⎡ \hat{i} a_{x} b_{x} \hat{j} a_{y} b_{y} \hat{k} a_{z} b_{z} ⎦ ⎤ ⎠ ⎞ = det ⎝ ⎛ ⎣ ⎡ \hat{i} \hat{j} \hat{k} a_{x} a_{y} a_{z} b_{x} b_{y} b_{z} ⎦ ⎤ ⎠ ⎞$

$\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = |\vec{a}| \times |\vec{b}| \times \sin(\theta)$

$\theta$ 是兩個向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的夾角

在這裡插入圖片描述

由於這裡涉及到了兩個向量圍成的面積，所以在前面講到的行列式能在這裡起到作用。

在這裡插入圖片描述

我們以上面這個圖片為例，向量 $\vec{v}$ 和向量 $\vec{w}$ 做叉積得出向量的長度可以使用行列式來計算，由於這裡只有兩個向量，所以我們回到二維空間中進行計算，由於垂直於向量 $\vec{v}$ 和向量 $\vec{w}$ 所圍成的平面有兩個方向，可以使用行列式裡面學過的 $\vec{v}$ 在 $\vec{w}$ 的左邊還是右邊來判斷，如下面的式子。

$\det \left( \begin{bmatrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \end{bmatrix} \right) = -\det \left( \begin{bmatrix} w_1 & v_1 \\ w_2 & v_2 \end{bmatrix} \right)$

$det ([v_{1} v_{2} w_{1} w_{2}]) = - det ([w_{1} w_{2} v_{1} v_{2}])$

也可以直接在三維空間中使用左手右手定則來判斷新向量指向的方向。跟前面行列式介紹的左右手定則基本一樣。這裡只列出右手定則

在這裡插入圖片描述

以線性變換的眼光看叉積

我們看到最上面的叉積的公式

$\vec{a} \times \vec{b} = \det \left( \begin{bmatrix} \hat{i} & a_x & b_x \\ \hat{j} & a_y & b_y \\ \hat{k} & a_z & b_z \end{bmatrix} \right) = \hat{i}(a_yb_z - a_zb_y) + \hat{j}(a_zb_x-a_xb_z) + \hat{k}(a_xb_y - a_yb_x)$

這個公式是怎麼來的，為什麼會把單位向量放到矩陣裡面計算行列式，為什麼向量叉積的結果是一個長度等於原來兩個向量圍成的面積？

我們知道，一個 $3 \times 3$ 矩陣的行列式的幾何意義是空間六面體的體積，而上面行列式的出來的結果是一個向量，是由於我們把單位向量作為矩陣單元。我們首先將 $\vec{a} \times \vec{b}$ 轉換成 $\vec{p} = \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix}$ ，然後上面的公式就改寫成下面的樣子。

$p_x\hat{i} + p_y\hat{j} + p_z\hat{k} = \det \left( \begin{bmatrix} \hat{i} & a_x & b_x \\ \hat{j} & a_y & b_y \\ \hat{k} & a_z & b_z \end{bmatrix} \right) = \hat{i}(a_yb_z - a_zb_y) + \hat{j}(a_zb_x-a_xb_z) + \hat{k}(a_xb_y - a_yb_x)$

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