四元數與尤拉角（RPY角）的相互轉換

RPY角與Z-Y-X尤拉角

　　描述座標系{B}相對於參考座標系{A}的姿態有兩種方式。第一種是繞固定（參考）座標軸旋轉：假設開始兩個座標系重合，先將{B}繞{A}的X軸旋轉 $γ$

　　Roll:橫滾

　　Pitch: 俯仰

Yaw: 偏航（航向）

　　由於是繞固定座標系旋轉，則旋轉矩陣為（ $c α$

R_{X Y Z} (γ, β, α) = R_{Z} (α) R_{Y} (β) R_{X} (γ) = [\begin{matrix} c α c β & c α s β s γ - s α c γ & c α s β c γ + s α s γ \\ s α c β & s α s β s γ + c α c γ & s α s β c γ - c α s γ \\ - s β & c β s γ & c β c γ \end{matrix}]

　　另一種姿態描述方式是繞自身座標軸旋轉：假設開始兩個座標系重合，先將{B}繞自身的Z軸旋轉 $α$

R_{Z^{'} Y^{'} X^{'}} (α, β, γ) = R_{Z} (α) R_{Y} (β) R_{X} (γ) = [\begin{matrix} c α c β & c α s β s γ - s α c γ & c α s β c γ + s α s γ \\ s α c β & s α s β s γ + c α c γ & s α s β c γ - c α s γ \\ - s β & c β s γ & c β c γ \end{matrix}]

　　可以發現這兩種描述方式得到的旋轉矩陣是一樣的，即繞固定座標軸X-Y-Z旋轉 $(γ, β, α)$

Axis-Angle與四元數

　　繞座標軸的多次旋轉可以等效為繞某一轉軸旋轉一定的角度。假設等效旋轉軸方向向量為 $\vec{K} = [k_{x}, k_{y}, k_{z}]^{T}$

\begin{aligned} x & = k_{x} \cdot s i n \frac{θ}{2} \\ y & = k_{y} \cdot s i n \frac{θ}{2} \\ z & = k_{z} \cdot s i n \frac{θ}{2} \\ w & = c o s \frac{θ}{2} \end{aligned}

　　且有 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1$

　　即四元數儲存了旋轉軸和旋轉角的資訊，它能方便的描述剛體繞任意軸的旋轉。

　　四元數轉換為旋轉矩陣：

R = [\begin{matrix} 1 - 2 y^{2} - 2 z^{2} & 2 (x y - z w) & 2 (x z + y w) \\ 2 (x y + z w) & 1 - 2 x^{2} - 2 z^{2} & 2 (y z - x w) \\ 2 (x z - y w) & 2 (y z + x w) & 1 - 2 x^{2} - 2 y^{2} \end{matrix}]

　　已知旋轉矩陣為：

　　則對應的四元數為：

四元數與尤拉角的相互轉換

　　定義兩個四元數：

　　其中

表示向量

；而

表示向量

四元數加法：

　　跟複數、向量和矩陣一樣，兩個四元數之和需要將不同的元素加起來。

　　加法遵循實數和複數的所有交換律和結合律。

四元數乘法：

　　四元數的乘法的意義類似於矩陣的乘法，可以表示旋轉的合成。當有多次旋轉操作時，使用四元數可以獲得更高的計算效率。

　　由於四元數乘法的非可換性，pq並不等於qp，qp乘積的向量部分是：

　　Mathematica中有四元數相關的程式包Quaternions Package，需要先匯入才能使用。下面計算了三個四元數的乘積：

　　計算結果為：Quaternion[-12, 4, 14, 2]

　　那麼將Z-Y-X尤拉角（或RPY角：繞固定座標系的X-Y-Z依次旋轉

α

q = [\begin{matrix} \cos \frac{γ}{2} \\ 0 \\ 0 \\ \sin \frac{γ}{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} \cos \frac{β}{2} \\ 0 \\ \sin \frac{β}{2} \\ 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} \cos \frac{α}{2} \\ \sin \frac{α}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos \frac{α}{2} \cos \frac{β}{2} \cos \frac{γ}{2} + \sin \frac{α}{2} \sin \frac{β}{2} \sin \frac{γ}{2} \\ \sin \frac{α}{2} \cos \frac{β}{2} \cos \frac{γ}{2} - \cos \frac{α}{2} \sin \frac{β}{2} \sin \frac{γ}{2} \\ \cos \frac{α}{2} \sin \frac{β}{2} \cos \frac{γ}{2} + \sin \frac{α}{2} \cos \frac{β}{2} \sin \frac{γ}{2} \\ \cos \frac{α}{2} \cos \frac{β}{2} \sin \frac{γ}{2} - \sin \frac{α}{2} \sin \frac{β}{2} \cos \frac{γ}{2} \end{matrix}]

四元數與尤拉角（RPY角）的相互轉換

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