今天準備學習和研究下unity3d的四元數 Quaternion

四元數在電腦圖形學中用於表示物體的旋轉，在unity中由x,y,z,w 表示四個值。

四元數是最簡單的超複數。 複數是由實數加上元素 i 組成，其中i^2 = -1 ,。 相似地，四元數都是由實數加上三個元素 i、j、k 組成，而且它們有如下的關係： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 , 每個四元數都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數一般可表示為a + bi + cj + dk ,。

具體的四元數知識可從百度、維基等網站了解。

http://baike.baidu.com/view/319754.htm

現在只說說在unity3D中如何使用Quaternion來表達物體的旋轉。

基本的旋轉我們可以用指令碼內建旋轉函式transform.Rotate()來實現。

function Rotate (eulerAngles : Vector3, relativeTo : Space = Space.Self) : void

但是當我們希望對旋轉角度進行一些計算的時候，就要用到四元數Quaternion了。我對高等數學來說就菜鳥一個，只能用最樸素的方法看效果了。

Quaternion的變數比較少也沒什麼可說的，大家一看都明白。唯一要說的就是xyzw的取值範圍是[-1,1],物體並不是旋轉一週就所有數值迴歸初始值，而是兩週。

初始值： (0,0,0,1)

沿著y軸旋轉：180°(0,1,0,0) 360°（0,0,0,-1）540°(0,-1,0,0) 720°(0,0,0,1)

沿著x軸旋轉：180°(-1,0,0,0) 360°（0,0,0,-1）540°(1,0,0,0) 720°(0,0,0,1)

無旋轉的寫法是Quaternion.identify

現在開始研究Quaternion的函式都有什麼用。

函式

1）function ToAngleAxis (out angle : float, out axis : Vector3) : void

Description

Converts a rotation to angle-axis representation

這個函式的作用就是返回物體的旋轉角度（物體的z軸和世界座標z軸的夾角）和三維旋轉軸的向量到變數out angle 和out axis

指令碼：

var a=0.0;

var b=Vector3.zero;

transform.rotation.ToAngleAxis(a,b);

輸入：transform.localEularAngles=(0,0,0);

輸出： a=0, b=(1,0,0);

輸入：transform.localEularAngles=(0,90,0);

輸出：a=90, b=(0,1,0);

輸入：transform.localEularAngles=(270,0,0);

輸出：a=90, b=(-1,0,0)

2）function SetFromToRotation (fromDirection : Vector3, toDirection : Vector3) : void

Description

Creates a rotation which rotates from fromDirection to toDirection.

這個函式的作用是把物體的fromDirection旋轉到toDirection

指令碼：

var a:Vector3;

var b:Vector3;

var q:Quaternion;

var headUpDir:Vector3;

q.SetFromToRotation(a,b);

transform.rotation=q;

headUpDir=transform.TransformDirection(Vector3.Forward);

輸入：a=Vector3(0,0,1); b=Vector3(0,1,0)//把z軸朝向y軸

輸出： q=(-0.7,0,0,0.7); headUpDir=(0,1,0)

輸入：a=Vector3(0,0,1); b=Vector3(1,0,0)//把z軸朝向x軸

輸出： q=(0,0.7,0,0.7); headUpDir=(1,0,0)

輸入：a=Vector3(0,1,0); b=Vector3(1,0,0)//把y軸朝向x軸

輸出： q=(0,0,-0.7,0.7); headUpDir=(0,0,1)

3）function SetLookRotation (view : Vector3, up : Vector3 = Vector3.up) : void

Description

Creates a rotation that looks along forward with the the head upwards along upwards

Logs an error if the forward direction is zero.

這個函式建立一個旋轉使z軸朝向view y軸朝向up。這個功能讓我想起了Maya裡的一種攝像機lol，大家自己玩好了，很有趣。

指令碼：

var obj1: Transform;

var obj2: Transform;

var q:Quaternion;

q.SetLookRotation(obj1.position, obj2.position);

transform.rotation=q;

然後大家拖動obj1和obj2就可以看到物體永遠保持z軸朝向obj1， 並且以obj2的位置來保持y軸的傾斜度。

傻逗我玩了半天 哈哈^^ 這個功能挺實用的。

4）function ToString () : string

Description

Returns a nicely formatted string of the Quaternion

這個一般用不著吧？看不懂的一邊查字典去~

Class Functions

1）四元數乘法 *

建議非特別瞭解的人群就不要用了。

作用很簡單，c=a*b (c,a,b∈Quaternion)可以理解為 ∠c=∠a+∠b

但是a*b 和b*a效果不一樣的。

2) == 和 !=

不解釋了

3）static function Dot (a : Quaternion, b : Quaternion) : float

Description

The dot product between two rotations

點積，返回一個float. 感覺用處不大。Vector3.Angle()比較常用。

4）static function AngleAxis (angle : float, axis : Vector3) : Quaternion

Description

Creates a rotation which rotates angle degrees around axis.

物體沿指定軸向axis旋轉角度angle, 很實用的一個函式也是。

指令碼：

var obj1: Transform;

var obj2: Transform;

var q:Quaternion;

//物體沿obj2的z軸旋轉，角度等於obj1的z軸。

q=Quaternion.AngleAxis(obj1.localEularAngle.z, obj2.TransformDirection(Vector3.forward));

transform.rotation=q;

5）static function FromToRotation (fromDirection : Vector3, toDirection : Vector3) : Quaternion

Description

Creates a rotation which rotates from fromDirection to toDirection.

Usually you use this to rotate a transform so that one of its axes eg. the y-axis – follows a target direction toDirection in world space.

跟SetFromToRotation差不多，區別是可以返回一個Quaternion。通常用來讓transform的一個軸向(例如 y軸)與toDirection在世界座標中同步。

6）static function LookRotation (forward : Vector3, upwards : Vector3 = Vector3.up) : Quaternion

Description

Creates a rotation that looks along forward with the the head upwards along upwards

Logs an error if the forward direction is zero.

跟SetLootRotation差不多，區別是可以返回一個Quaternion。

7）static function Slerp (from : Quaternion, to : Quaternion, t : float) : Quaternion

Description

Spherically interpolates from towards to by t.

從from 轉換到to，移動距離為t。 也是很常用的一個函式，用法比較多，個人感覺比較難控制。當兩個quaternion接近時，轉換的速度會比較慢。

指令碼：

var obj1: Transform;

var t=0.1;

var q:Quaternion;

//讓物體旋轉到與obj1相同的方向

q=Quaternion.Slerp(transform.rotation, obj1.rotation,t);

transform.rotation=q;

根據我個人推測，可能t 代表的是from 和to 之間距離的比例。 為此我做了實驗並證明了這一點即：

q=Quaternion.Slerp(a,b,t);

q,a,b∈Quaternion

t[0,1]

q=a+(b-a)*t

並且t最大有效範圍為0~1

指令碼：

var obj1: Transform;

var obj2：Transform；

var t=0.1;

var q:Quaternion;

//讓物體obj1和obj2 朝向不同的方向，然後改變t

q=Quaternion.Slerp(obj1.rotation, obj2.rotation,t);

transform.rotation=q;

t+=Input.GetAxis(“horizontal”)*0.1*Time.deltaTime；

7）static function Lerp (a : Quaternion, b : Quaternion, t : float) : Quaternion

Description

Interpolates from towards to by t and normalizes the result afterwards.

This is faster than Slerp but looks worse if the rotations are far apart

跟Slerp相似，且比Slerp快，.但是如果旋轉角度相距很遠則會看起來很差。

8）static function Inverse (rotation : Quaternion) : Quaternion

Description

Returns the Inverse of rotation.

返回與rotation相反的方向

9）static function Angle (a : Quaternion, b : Quaternion) : float

Description

Returns the angle in degrees between two rotations a and b.

計算兩個旋轉之間的夾角。跟Vector3.Angle() 作用一樣。

10）static function Euler (x : float, y : float, z : float) : Quaternion

Description

Returns a rotation that rotates z degrees around the z axis, x degrees around the x axis, and y degrees around the y axis (in that order).

把旋轉角度變成對應的Quaternion

以上就是Quaternion的所有函數了。

關於應用，就說一個，其他的有需要再補充。

Slerp 函式是非常常用的一個函式，用來產生旋轉。

static function Slerp (from : Quaternion, to : Quaternion, t : float) : Quaternion

對於新手來說，最難的莫過於如何用它產生一個勻速的旋轉。如果想用它產生勻速轉動，最簡單的辦法就是把form和to固定，然後勻速增加t

指令碼：

var obj1: Transform;

var obj2：Transform；

var speed:float;

var t=0.1;

var q:Quaternion;

q=Quaternion.Slerp(obj1.rotation, obj2.rotation,t);

transform.rotation=q;

t+=Time.deltaTime;

但是這並不能解決所有情況。 很多時候from 和to都不是固定的，而且上一個指令碼也不能保證所有角度下的旋轉速度一致。所以我寫了這個指令碼來保證可以應付大多數情況。

指令碼：

var target: Transform;

var rotateSpeed=30.0;

var t=float;

var q:Quaternion;

var wantedRotation=Quaternion.FromToRotation(transform.position,target.position);

t=rotateSpeed/Quaternion.Angle(transform.rotation,wantedRotation)*Time.deltaTime;

q=Quaternion.Slerp(transform.rotation, target.rotation,t);

transform.rotation=q;

這個指令碼可以保證物體的旋轉速度永遠是rotateSpeed。

第七行用旋轉速度除以兩者之間的夾角得到一個比例。

如果自身座標和目標之間的夾角是X度，我們想以s=30度每秒的速度旋轉到目標的方向,則每秒旋轉的角度的比例為s/X。 再乘以每次旋轉的時間Time.deltaTime我們就得到了用來勻速旋轉的t值