影象處理之直方圖處理

阿新 • • 發佈：2018-12-11

灰度級範圍為[0,L-1]的數字影象的直方圖是離散函式：

$h(r_{k}) = n_{k}$

其中 $r_{k}$ 是第k級灰度值( $r_{k}$ =k)， $n_{k}$ 是影象中灰度值為 $r_{k}$ 的畫素個數。

通常用MN表示的影象畫素的總數除它的每個分量 $n_{k}$ 來歸一化直方圖，即：

$p(r_{k}) = n_{k}/MN$

M和N分別是影象的行和列維數，k = 0,1,...,L-1。歸一化直方圖的所有分量和為1。

若一幅影象的畫素傾向於佔據整個可能的灰度級並且均勻分佈，則該影象會有高對比度的外觀和灰度細節豐富的特點。如下圖：

直方圖均衡

用變數r表示待處理的影象的灰度，灰度變換函式通常需要滿足兩個條件：

(a) T(r)在空間 $0\leqslant r\leqslant L-1$ 上為單調遞增函式
(b) 當 $0\leqslant r\leqslant L-1$ 時， $0\leqslant T(r)\leqslant L-1$

當考慮反函式 $r = T^{-1}(s),0\leqslant s\leqslant L-1$ 時，條件(a)改為：

(a') T(r)在空間 $0\leqslant r\leqslant L-1$

上是嚴格單調遞增函式

條件(a)保證輸出灰度值不少於相應的輸入值，防止灰度反變換時產生人為的缺陷；條件(b)保證輸出灰度的範圍與輸入灰度的範圍相同；條件(a')保證從s到r的反對映是單值的，即一對一的，防止出現二義性。如下圖：

為了產生均衡的直方圖，使用如下的灰度變換函式：

$s = T(r) = (L-1)\int_{0}^{r}p_{r}(w)dw$ ....................................(1)

容易看出，該變換滿足條件a和b。

下面解釋為什麼經過(1)式的灰度變換能產生均衡直方圖。

令 $p_{r}(r)$ 和 $p_{s}(s)$ 分別表示隨機變數r和s的概率密度函式(PDF)。若 $p_{r}(r)$ 和T(r)已知，則變換後的變數s的PDF為：

$p_{s}(s) = p_{r}(r)|dr/ds|$ ......................................................(2)

使用(1)式的變換函式，得：

$\frac{ds}{dr} = \frac{dT(r)}{dr} = (L-1)\frac{d}{dr}[\int_{0}^{r}p_{r}(w)dw] = (L-1)p_{r}(r)$

將dr/ds代入(2)式，得：

$p_{s}(s) = p_{r}(r)|dr/ds| = p_{r}(r)\left | \frac{1}{(L-1)p_{r}(r)} \right | = \frac{1}{L-1},0\leqslant s\leqslant L-1$

可知， $p_{s}(s)$ 始終是一個均勻概率密度函式，與 $p_{r}(r)$ 的形式無關。所以，經過(1)式灰度變換的影象能產生均衡直方圖。

(1)式的積分形式針對的是連續灰度值，而對於離散值，用求和的形式處理。一幅影象中灰度級 $r_{k}$ 出現的概率為：

$p(r_{k}) = n_{k}/MN,k = 0,1,2,...,L-1$

(1)式中變換的離散形式為：

$s_{k} = T(r_{k}) = (L-1)\sum_{j=0}^{k}p_{r}(r_{j}) = \frac{(L-1)}{MN}\sum_{j=0}^{k}n_{j},k = 0,1,2,...,L-1$

注：在實際使用中，需要將灰度值取近似為最接近的整數。

直方圖匹配（規定化）

直方圖匹配或直方圖規定化，是指處理後的影象具有規定的直方圖形狀。

具體說來就是，要找到一個灰度變換函式，使影象在該灰度變換函式的作用下，產生一個我們指定形狀的直方圖，所謂指定形狀的直方圖形狀，其實就是一個指定的概率密度函式。

假設r和z分別表示輸入影象和輸出影象的灰度級， $p_{r}(r)$ 是輸入影象的概率密度函式， $p_{z}(z)$ 是我們希望輸出影象所具有的指定概率密度函式。

令：

$s = T(r) = (L-1)\int_{0}^{r}p_{r}(w)dw$

可以看出，這就是直方圖均衡中的變換函式。知道 $p_{r}(r)$ ，就能得到T(r)。

定義隨機變數z：

$G(z) = (L-1)\int_{0}^{z}p_{z}(t)dt = s$

同樣，知道 $p_{z}(z)$ ，就能得到G(z)，而 $p_{z}(z)$ 就是我們指定的概率密度函式。

可得：

$z = G^{-1}[T(r)] = G^{-1}(s)$

上式就是我們要求的直方圖匹配的灰度變換函式。

對於離散形式，類似的我們令：

$s_{k} = T(r_{k}) = (L-1)\sum_{j=0}^{k}p_{r}(r_{j}) = \frac{(L-1)}{MN}\sum_{j=0}^{k}n_{j},k = 0,1,2,...,L-1$

$G(z_{q}) = (L-1)\sum_{i=0}^{q}p_{z}(z_{i})=s_{k},q=0,1,2,...,L-1$

其中， $p_{z}(z_{i})$ 規定的直方圖的第i個值， $z_{q}$ 是規定的直方圖對應的影象的第q級灰度值（ $z_{q}$ =q），利用反變換找到期望的 $z_{q}$ ：

$z_{q} = G^{-1}(s_{k})$

實踐中，並不需要反變換。因為我們處理的灰度級是整數（如8位元影象的灰度級是從0到255），我們常用下面的直方圖規定化過程：

計算給定影象的 $p_{r}(r)$ 及其直方圖均衡變換 $s_{k}$ ，把 $s_{k}$ 四捨五入為範圍[0,L-1]內的整數；
對q=0,1,2,...,L-1計算 $G(z_{q})$ ，其中 $p_{z}(z_{i})$ 規定的直方圖的值，把G四捨五入為範圍[0,L-1]內的整數，將G存在一個表中；
對每一個 $s_{k}$ ，k=0,1,2,...,L-1，從步驟2中儲存的G值表中尋找 $G(z_{q})$ 使 $G(z_{q})$ 最接近 $s_{k}$ 。例如表中第64個 $G(z_{q})$ 最接近 $s_{k}$ ，則根據 $G(z_{q})$ 的定義，此時q=63，也就是 $z_{q}$ =63。當滿足給定 $s_{k}$ 的 $z_{q}$ 值多於一個時，按慣例選擇最小的值。

參考資料：岡薩雷斯《數字影象處理》

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